Funksjonen er

Deriverer:

Dette er et andregradsuttrykk i $x$ med negativ ledende koeffisient, altså en nedovervendt parabel. Grafen til $f$ har både et toppunkt og et bunnpunkt nøyaktig når $f^{\prime }(x)=0$ har to forskjellige løsninger, det vil si når diskriminanten til $f^{\prime }$ er positiv.

Diskriminanten er

Krav: $D>0$:

Dette bekreftes i CAS (se r1-h19-2-2-cas.png, linje 2, der $f^{\prime }(x)=-3x^2+k+2x$): når $D>0$ finnes to nullpunkter for $f^{\prime }$, ett der $f$ går fra minkende til voksende (bunnpunkt) og ett der $f$ går fra voksende til minkende (toppunkt).

Svar: $k>-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

Siden $f^{\prime }$ er en nedovervendt parabel, er det størst nullpunkt av $f^{\prime }(x)=0$ som gir toppunktet. Toppunkt i $x=2$ betyr derfor

I CAS (r1-h19-2-2-cas.png, linje 3) løses $g(2)=0$ med hensyn på $k$:

Med $k=8$ blir

CAS gir (linje 5) at $f^{\prime }(x)=-3x^2+2x+8=0$ har løsningene

$x=2$ er toppunktet (stemmer med oppgaveteksten), og $x=-{\displaystyle \frac{4}{3}}$ er bunnpunktet siden det er det minste nullpunktet.

Innsatt gir CAS (linje 4 og 6):

Se skjermbildet:

Grafen med $k=8$ og de to ekstremalpunktene markert:

Svar: $k=8$, toppunkt $(2,14)$ og bunnpunkt $(-{\displaystyle \frac{4}{3}},-{\displaystyle \frac{122}{27}})$

Et vendepunkt er der den dobbeltderiverte skifter fortegn, altså der $f^{\prime \prime }(x)=0$:

CAS (linje 7–8) bekrefter dette. $y$-koordinaten til vendepunktet, uttrykt ved $k$, blir (linje 9):

Vendepunktet er altså $({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{k}{3}}+{\displaystyle \frac{56}{27}})$.

Den momentane vekstfarten til $f$ er $f^{\prime }(x)$, som er en nedovervendt parabel. Maksimal vekstfart finner vi derfor i toppunktet til $f^{\prime }$, som ligger nøyaktig i $x$-koordinaten til vendepunktet til $f$, altså $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (samme $x$-verdi gir maksimum av $f^{\prime }$ som gir vendepunkt av $f$, siden $f^{\prime \prime }$ er den deriverte av $f^{\prime }$).

CAS gir (linje 10):

Setter denne største vekstfarten lik $2$ (linje 11):

Svar: Vendepunkt $({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{k}{3}}+{\displaystyle \frac{56}{27}})$, og $k={\displaystyle \frac{5}{3}}$ gir størst momentan vekstfart lik $2$.