De samlede kostnadene skal ikke overstige $200$, altså $f(x)\le 200$:

Siden $x$ må være et helt antall enheter, kan bedriften høyst produsere $\underline{\underline{x=120}}$ enheter. (Kontroll: $f(120)=55+\mathrm{0,01}\cdot {120}^2=199\le 200$, mens $f(121)=\mathrm{201,41}>200$.)

Overskuddet $O(x)$ er salgsinntekt minus kostnad:

Bedriften får overskudd når $O(x)>0$. Vi løser først $O(x)=0$ i CAS (se utklipp), som gir $x=50$ og $x=110$. Siden parabelen vender grenene nedover, er $O(x)>0$ mellom nullpunktene:

For å finne den produksjonsmengden som gir størst overskudd, deriverer vi og setter $O^{\prime }(x)=0$:

Dette stemmer med CAS-utklippet over. Siden $O^{\prime }(x)$ går fra positiv til negativ ved $x=80$, er dette et toppunkt (maksimum). Overskuddet der er

Grafen til $O$ viser sammenhengen:

Bedriften får altså overskudd for produksjonsmengder mellom $\underline{\underline{50}}$ og $\underline{\underline{110}}$ enheter, og størst overskudd oppnås ved $\underline{\underline{x=80}}$ enheter, med et overskudd på $\underline{\underline{9}}$.

Linja $h(x)=p\cdot x$ er inntekten når prisen per enhet er $p$. Balanse betyr at kostnad og inntekt er like, altså at $f(x)=h(x)$ har (minst) én løsning.

Jo lavere $p$ er, jo slakere blir linja $h$, og jo vanskeligere er det for $h$ å nå opp til $f$. Er $p$ stor nok, skjærer $h$ kurven $f$ i to punkter — da er det et helt intervall av produksjonsmengder som gir overskudd (som i b)). Senkes prisen gradvis, nærmer de to skjæringspunktene seg hverandre, helt til de faller sammen i ett punkt $T$ der linja tangerer kurven. Dette er den laveste prisen der balanse fortsatt er mulig — senkes prisen ytterligere, ligger $h$ helt under $f$, og det finnes ingen produksjonsmengde som gir balanse (bedriften taper alltid penger). Derfor kan vi bestemme minsteprisen ved å finne tangeringspunktet $T$ mellom $h$ og $f$.

I tangeringspunktet $T=(a,f(a))$ har $f$ og $h$ samme funksjonsverdi og samme stigningstall — ellers ville linja krysset kurven i stedet for å tangere den. Siden $h$ er en rett linje gjennom origo med stigningstall $p$, må stigningstallet til $f$ i $T$ også være $p$:

Vi har $f^{\prime }(x)=\mathrm{0,02}x$, så $p=\mathrm{0,02}a$, altså $a=50p$. I tillegg må $f(a)=h(a)$ (samme funksjonsverdi):

Setter vi inn $p=\mathrm{0,02}a$:

Dette stemmer med CAS-utklippet i b) (linje 9–10), der $a≔10\sqrt{55}$ og $f^{\prime }(a)={\displaystyle \frac{\sqrt{55}}{5}}\approx \mathrm{1,48}$, i samsvar med den oppgitte prisen $p\approx \mathrm{1,48}$.

Det produseres og selges altså $\underline{\underline{a=10\sqrt{55}\approx 74\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}}}$ når prisen er lavest mulig.

Likningen $\mathrm{0,01}{x}^2-px+55=0$ har bare én løsning når diskriminanten er null:

(vi forkaster den negative løsningen siden prisen må være positiv). Dette bekreftes av CAS-utklippet i b) (linje 8).

Dette er den minste prisen som gir balanse fordi diskriminanten avgjør hvor mange løsninger likningen $f(x)=h(x)$ har:

• For $p<\sqrt{\mathrm{2,2}}$ er $D<0$: ingen løsning, linja $h$ ligger hele tiden under $f$, og bedriften kan aldri oppnå balanse.
• For $p=\sqrt{\mathrm{2,2}}$ er $D=0$: nøyaktig én løsning — dette er tangeringspunktet $T$, og balanse er så vidt mulig.
• For $p>\sqrt{\mathrm{2,2}}$ er $D>0$: to løsninger, og det finnes et helt intervall av produksjonsmengder som gir overskudd (som i b)).

Derfor er $\underline{\underline{p=\sqrt{\mathrm{2,2}}\approx \mathrm{1,48}}}$ den minste prisen som gir balanse.