Kostnadsfunksjon og optimering

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

De daglige kostnadene i kroner til en bedrift som produserer $x$ enheter av en vare per dag er gitt i tabellen nedenfor.

$x$	40	50	60	70	80	90	100
$K (x)$	1200	2200	3600	5500	7800	10500	13700

Krever PC

Bruk regresjon til å bestemme et andregradsuttrykk for $K (x)$ .

Inntektene $I$ kroner ved salg av $x$ enheter per dag er gitt ved

I (x) = p \cdot x, der p er prisen på varen og x \in [40, 100]

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Hva må $p$ være dersom overskuddet skal bli størst når det produseres og selges 75 enheter per dag. Hvor stort blir overskuddet da?

Bedriften har gjort en markedsanalyse. Sammenhengen mellom antall solgte enheter $x$ og prisen $p$ viser seg å være

x = 200 - 1,2 p

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem hvilken pris som vil gi det største overskuddet per dag.

Fasit

$K (x) \approx 2,18 x^{2} - 96,79 x + 1585,71$

$p \approx 230$ kr, overskudd $\approx 10 669$ kr

$p \approx 130$ kr

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker andregradsregresjon (GeoGebra: FitPoly) på de gitte datapunktene:

K (x) \approx 2,18 x^{2} - 96,79 x + 1585,71

Inntekten er $I (x) = p \cdot x$ og overskuddet er

O (x) = I (x) - K (x) = p \cdot x - K (x)

For at overskuddet skal være størst mulig ved $x = 75$ , må $x = 75$ være et toppunkt for $O (x)$ . Det krever at $O^{'} (75) = 0$ :

O^{'} (x) = p - K^{'} (x) = 0 ⟹ p = K^{'} (75)

Vi deriverer $K (x)$ :

K^{'} (x) = 2 \cdot 2,18 x - 96,79 = 4,36 x - 96,79

K^{'} (75) = 4,36 \cdot 75 - 96,79 = 327 - 96,79 = 230,21 \approx 230 kr

Overskuddet ved $x = 75$ og $p \approx 230$ kr:

O (75) = 230 \cdot 75 - K (75)

K (75) = 2,18 \cdot 75^{2} - 96,79 \cdot 75 + 1585,71 \approx 6581 kr

O (75) \approx 17 250 - 6581 \approx 10 669 kr

Fra markedsanalysen har vi $x = 200 - 1,2 p$ , som gir $p = \frac{200 - x}{1,2}$ .

Vi setter inn i overskuddsfunksjonen og uttrykker overskuddet som funksjon av prisen $p$ :

O (p) = x \cdot p - K (x) = (200 - 1,2 p) \cdot p - K (200 - 1,2 p)

For å finne maksimalt overskudd setter vi $O^{'} (p) = 0$ og løser numerisk (GeoGebra CAS).

Vi får $p \approx 130$ kr.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2015, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Kostnadsfunksjon, Optimering, Økonomi

Innstillinger