Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Kostnaden $K$ og inntekten $I$ ved produksjon og salg av $x$ enheter av en vare er gitt ved

K (x) = 0,2 x^{2} + 200 x

I (x) = - 0,3 x^{2} + 400 x

Vi antar at produksjonen er mindre enn 500 enheter. Både kostnaden og inntekten oppgis i kroner.

Kalkulator

Finn kostnaden og inntekten når bedriften produserer og selger 300 enheter. Hvor stort blir overskuddet?

Kalkulator

Bestem et uttrykk for overskuddsfunksjonen $P$ . Løs likningen $P (x) = 0$ .

Kalkulator

Bruk derivasjon til å finne den produksjonen som gir størst overskudd. Hvor stort er det største overskuddet?

Fasit

$K (300) = 78 000 kr, I (300) = 93 000 kr, overskudd = 15 000 kr$

$P (x) = - 0,5 x^{2} + 200 x, x = 0 eller x = 400$

$x = 200 enheter gir maksimalt overskudd på 20 000 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi setter $x = 300$ inn i uttrykkene for kostnad og inntekt.

K (300) = 0,2 \cdot 300^{2} + 200 \cdot 300 = 18 000 + 60 000 = 78 000 kr

I (300) = - 0,3 \cdot 300^{2} + 400 \cdot 300 = - 27 000 + 120 000 = 93 000 kr

Overskuddet er inntekt minus kostnad.

I (300) - K (300) = 93 000 - 78 000 = 15 000 kr

Bedriften får et overskudd på $15 000 kr$ når den produserer og selger 300 enheter.

Overskuddsfunksjonen $P$ er inntekt minus kostnad.

P (x) = I (x) - K (x) = (- 0,3 x^{2} + 400 x) - (0,2 x^{2} + 200 x) = - 0,5 x^{2} + 200 x

Vi løser $P (x) = 0$ ved å faktorisere ut $x$ .

- 0,5 x^{2} + 200 x = 0

x (- 0,5 x + 200) = 0

x = 0 eller - 0,5 x + 200 = 0 \Rightarrow x = 400

Løsningen av $P (x) = 0$ er kontrollert med GeoGebra CAS (linje 4 i utklippet under).

CAS-utregning

Overskuddet er altså null når bedriften produserer $x = 0$ eller $x = 400$ enheter. Det betyr at bedriften går med overskudd for produksjon mellom $0$ og $400$ enheter.

For å finne den produksjonen som gir størst overskudd, deriverer vi $P$ og setter den deriverte lik null.

P^{'} (x) = - x + 200

P^{'} (x) = 0 \Rightarrow - x + 200 = 0 \Rightarrow x = 200

Siden $P$ er en andregradsfunksjon med negativ ledende koeffisient, er dette et toppunkt (maksimum). Det stemmer med linje 5 og 6 i CAS-utklippet over.

Vi finner størrelsen på det maksimale overskuddet ved å sette $x = 200$ inn i $P (x)$ (linje 7 i utklippet over).

P (200) = - 0,5 \cdot 200^{2} + 200 \cdot 200 = - 20 000 + 40 000 = 20 000 kr

Bedriften oppnår størst overskudd når den produserer og selger $200$ enheter, og det maksimale overskuddet er da $20 000 kr$ .

$Grafen til overskuddsfunksjonen P(x) med nullpunkter i x=0 og x=400, og toppunkt i (200, 20\,000)$

Oppgavedata

Hentet fra: S1 V2010, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Kostnadsfunksjon, Derivasjon, Optimering, Andregradslikninger

Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd

Kostnad og inntekt med andregradsfunksjoner og maksimalt overskudd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer