Korteste vei AC + CE via punkt på linjestykket BD

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Området ABDE med rette vinkler i B og D og punktet C på BD

Figuren ovenfor viser et område $A B D E$ . $A B = 10 m$ , $B D = 12 m$ , og $D E = 12 m$ . $C$ er et vilkårlig punkt på $B D$ .

For hånd

Sett $B C = x$ og finn avstanden $A C + C E$ uttrykt med $x$ .

Krever PC

Bestem $x$ slik at avstanden $A C + C E$ blir kortest mulig.

Fasit

$A C + C E = \sqrt{x^{2} + 100} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 144}$

$x = \frac{60}{11} \approx 5,45 m$ , korteste avstand $A C + C E = 2 \sqrt{157} \approx 25,06 m$

LøsningsforslagKI-generert

Trekant $A B C$ har rett vinkel i $B$ , med kateter $A B = 10 m$ og $B C = x$ . Etter Pytagoras’ setning er

A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{100 + x^{2}}

Siden $C$ ligger på $B D$ med $B D = 12 m$ og $B C = x$ , er $C D = 12 - x$ . Trekant $C D E$ har rett vinkel i $D$ , med kateter $C D = 12 - x$ og $D E = 12 m$ . Etter Pytagoras’ setning er

C E = \sqrt{C D^{2} + D E^{2}} = \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 144}

Summen av de to avstandene blir dermed

A C + C E = \sqrt{x^{2} + 100} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 144}, 0 \leq x \leq 12

Vi definerer $f (x) = \sqrt{x^{2} + 100} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 144}$ og finner minimumspunktet i GeoGebra.

CAS: funksjon, derivert, løsning av f'(x)=0 og minimumsverdien

GeoGebra CAS gir

f^{'} (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 100}} + \frac{2 x - 24}{2 \sqrt{x^{2} - 24 x + 288}} = 0 \Rightarrow x = \frac{60}{11}

og minimumsverdien $f (\frac{60}{11}) = 2 \sqrt{157}$ .

Grafen til $f$ bekrefter at dette er et minimumspunkt:

Grafen til f(x) = AC + CE, med minimumspunktet markert ved x ≈ 5,45

Dermed blir avstanden $A C + C E$ kortest når

x = \frac{60}{11} \approx 5,45 m

og den korteste avstanden er da

A C + C E = 2 \sqrt{157} \approx 25,06 m

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2012, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Pytagoras, Optimering, Funksjoner

Korteste vei AC + CE via punkt på linjestykket BD

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Korteste vei AC + CE via punkt på linjestykket BD

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Korteste vei AC + CE via punkt på linjestykket BD

Korteste vei AC + CE via punkt på linjestykket BD

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer