Koordinater, linje og ortogonalitet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I et koordinatsystem har vi gitt punktene $A (- 2, 3)$ og $B (3, 2)$ .

Bestem lengden av linjestykket $A B$ .

Linja gjennom $A$ og $B$ skjærer $x$ -aksen i punktet $C$ .

Bestem koordinatene til $C$ .

Et punkt $D$ er gitt ved $D (2, t)$ der $t \in ℝ$ .

Bestem $t$ slik at $∠ A B D$ blir $90 °$ .

Fasit

$| A B | = \sqrt{26}$

$C = (13, 0)$

$t = - 3$

Løsningsforslag

| A B | = \sqrt{{(3 - (- 2))}^{2} + {(2 - 3)}^{2}} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}

$| A B | = \sqrt{26}$

Stigningstallet til linjen gjennom $A (- 2,3)$ og $B (3,2)$ er

m = \frac{2 - 3}{3 - (- 2)} = - \frac{1}{5}

Linjens ligning: $y - 3 = - \frac{1}{5} (x + 2)$ , det vil si $y = \frac{13}{5} - \frac{x}{5}$ .

For $y = 0$ : $x = 13$ .

$C = (13, 0)$

Vinkelen $∠ A B D = 90 °$ betyr at $\vec{B A} ⟂ \vec{B D}$ , altså $\vec{B A} \cdot \vec{B D} = 0$ .

\vec{B A} = (- 5, 1) \vec{B D} = (2 - 3, t - 2) = (- 1, t - 2)

\vec{B A} \cdot \vec{B D} = (- 5) (- 1) + 1 \cdot (t - 2) = 5 + t - 2 = 3 + t = 0 ⟹ t = - 3

$t = - 3$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidater som finner riktig vektor, men ikke lengden av den, kan få 1 poeng.

En presis tegning uten god tilhørende argumentasjon kan gi 1 poeng.

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2025, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Geometri, Skalarprodukt
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Innstillinger