Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2, & x < 0 \\ 2 e^{x}, & x \geq 0 \end{matrix}

Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

Avgjør om $f$ er deriverbar i $x = 0$ .

Fasit

$f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .

$f$ er ikke deriverbar i $x = 0$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal avgjøre om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$ . Vi undersøker venstregrensen, funksjonsverdien og høyregrensen.

Venstregrensen ( $x \to 0^{-}$ , dvs. $f (x) = x^{2} + 2$ ):

\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = 0^{2} + 2 = 2

Funksjonsverdien (siden $x = 0$ gir $f (x) = 2 e^{x}$ ):

f (0) = 2 e^{0} = 2 \cdot 1 = 2

Høyregrensen ( $x \to 0^{+}$ , dvs. $f (x) = 2 e^{x}$ ):

\lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 2 e^{0} = 2

Siden $\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = f (0) = \lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 2$ , er $f$ $kontinuerlig i x = 0$ .

Vi skal avgjøre om $f$ er deriverbar i $x = 0$ . Det krever at den deriverte fra venstre og høyre er like.

Den deriverte fra venstre bruker $f (x) = x^{2} + 2$ , som gir $f^{'} (x) = 2 x$ :

\lim_{x \to 0^{-}} f^{'} (x) = 2 \cdot 0 = 0

Den deriverte fra høyre bruker $f (x) = 2 e^{x}$ , som gir $f^{'} (x) = 2 e^{x}$ :

\lim_{x \to 0^{+}} f^{'} (x) = 2 e^{0} = 2

Siden $0 \neq 2$ , er de ensidige deriverte ikke like, og $f$ er $ikke deriverbar i x = 0$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng. Kandidater som finner at $f$ ikke er kontinuerlig i a og argumenterer med dette i b, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2025, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Kontinuitet, Derivasjon
Kompetansemål: Gjøre rede for og argumentere for om en funksjon er kontinuerlig eller diskontinuerlig i et punkt i et definisjonsområde, og gi eksempler på anvendelser av diskontinuerlige funksjoner

Innstillinger