Kombinatorikk og binomisk sannsynlighet for kursdeltakere

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en bedrift er det ansatt 2 menn og 18 kvinner. Bedriften vil sende 5 av de ansatte på et kurs. Kursdeltakerne velges ut tilfeldig.

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at begge mennene får delta på kurset?

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at akkurat én av mennene får delta?

Av erfaring regner man med at bare 25 % av alle de som begynner på kurset, består kurset.

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at akkurat 1 av de 5 påmeldte består kurset?

Kalkulator

Finn sannsynligheten for at 2 eller flere av de 5 påmeldte består kurset.

Det er viktig for bedriften at minst 1 av de ansatte består kurset. For å oppnå dette vil de om nødvendig øke antall deltakere.

Kalkulator

Hva er det minste antallet deltakere bedriften må melde på dersom det skal være en sannsynlighet på 95 % eller mer for at minst 1 av de ansatte skal bestå kurset?

Fasit

$P = \frac{1}{19} \approx 0,0526$

$P = \frac{15}{38} \approx 0,3947$

$P \approx 0,3955$

$P \approx 0,3672$

$n = 11$

LøsningsforslagKI-generert

Det er totalt $2 + 18 = 20$ ansatte, og $5$ av dem velges tilfeldig ut. Antall måter å velge $5$ personer av $20$ på er

(\binom{20}{5}) = 15504

Skal begge mennene delta, må vi i tillegg velge $3$ av de $18$ kvinnene. Antall gunstige utfall er

(\binom{2}{2}) \cdot (\binom{18}{3}) = 1 \cdot 816 = 816

P (begge menn) = \frac{(\binom{2}{2}) \cdot (\binom{18}{3})}{(\binom{20}{5})} = \frac{816}{15504} = \frac{1}{19} \approx 0,0526

Se GeoGebra CAS-utklippet, linje 1.

Kombinatorikk og binomisk sannsynlighet i GeoGebra CAS

Skal akkurat én av mennene delta, velger vi $1$ av $2$ menn og $4$ av $18$ kvinner:

P (nøyaktig én mann) = \frac{(\binom{2}{1}) \cdot (\binom{18}{4})}{(\binom{20}{5})} = \frac{2 \cdot 3060}{15504} = \frac{6120}{15504} = \frac{15}{38} \approx 0,3947

Se linje 2 i utklippet.

Nå lar vi $X$ være antall av de $5$ påmeldte som består kurset. $X$ er binomisk fordelt med $n = 5$ og $p = 0,25$ . Sannsynligheten for at akkurat $1$ av $5$ består er

P (X = 1) = (\binom{5}{1}) \cdot {0,25}^{1} \cdot {0,75}^{4} \approx 0,3955

Se linje 3 i utklippet (FordelingBinomial(5, 0,25, 1, false)).

Sannsynligheten for at $2$ eller flere består er komplementet til at $0$ eller $1$ består:

P (X \geq 2) = 1 - P (X \leq 1) \approx 1 - 0,6328 \approx 0,3672

Se linje 4 i utklippet (1 - FordelingBinomial(5, 0,25, 1, true)).

La $Y$ være antall som består kurset når $n$ ansatte meldes på. $Y$ er binomisk fordelt med parametre $n$ og $p = 0,25$ . Vi ønsker det minste $n$ slik at

P (Y \geq 1) = 1 - P (Y = 0) = 1 - {0,75}^{n} \geq 0,95

{0,75}^{n} \leq 0,05

Løser vi likheten ${0,75}^{n} = 0,05$ (se linje 5 i utklippet), får vi $n \approx 10,41$ . Siden $n$ må være et helt tall og sannsynligheten $1 - {0,75}^{n}$ øker med $n$ , må vi runde opp:

n = 11

Bedriften må melde på minst $11$ ansatte for at sannsynligheten for at minst $1$ av dem består kurset, skal være $95 %$ eller mer.

Oppgavedata

Hentet fra: S1 H2009, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Binomisk fordeling

Kombinatorikk og binomisk sannsynlighet for kursdeltakere

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kombinatorikk og binomisk sannsynlighet for kursdeltakere

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kombinatorikk og binomisk sannsynlighet for kursdeltakere

Kombinatorikk og binomisk sannsynlighet for kursdeltakere

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer