Kombinatorikk med klasse og betinget sannsynlighet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en klasse er det 12 gutter og 16 jenter. Det skal trekkes ut en gruppe på 5 elever på en tilfeldig måte.

Kalkulator

Bestem sannsynligheten for at det blir med akkurat én gutt i gruppen.

Sannsynligheten er $\frac{44}{117}$ for at et bestemt antall gutter blir med i gruppen.

Kalkulator

Hvor mange gutter blir det da med i gruppen?

Arne og Betsy går i klassen. Vi definerer følgende hendelser:

$A$ : Arne blir med i gruppen.

$B$ : Betsy blir med i gruppen.

Kalkulator

Forklar at

P (A | B) = \frac{(\binom{1}{1}) \cdot (\binom{26}{3})}{(\binom{27}{4})}

og bestem sannsynligheten.

Fasit

$P = \frac{2}{9}$

$2 gutter$

$P (A | B) = \frac{4}{27}$

LøsningsforslagKI-generert

Klassen har $12$ gutter og $16$ jenter, altså $28$ elever totalt. Vi skal trekke en gruppe på $5$ elever, og alle grupper på $5$ er like sannsynlige. Antall mulige grupper er

(\binom{28}{5})

For at det skal bli akkurat én gutt med, må vi velge $1$ av de $12$ guttene og $4$ av de $16$ jentene:

P (1 gutt) = \frac{(\binom{12}{1}) \cdot (\binom{16}{4})}{(\binom{28}{5})}

Beregning i GeoGebra CAS gir

P (1 gutt) = \frac{2}{9}

GeoGebra CAS-utregning

$P = \frac{2}{9}$

Hvis det er $x$ gutter i gruppen, må de resterende $5 - x$ være jenter, så sannsynligheten for akkurat $x$ gutter er

P (x gutter) = \frac{(\binom{12}{x}) \cdot (\binom{16}{5 - x})}{(\binom{28}{5})}

Vi skal finne $x$ slik at dette uttrykket blir $\frac{44}{117}$ . Prøver $x = 2$ :

P (2 gutter) = \frac{(\binom{12}{2}) \cdot (\binom{16}{3})}{(\binom{28}{5})}

CAS-utregningen (se skjermbilde over, linje Pb) gir nettopp

P (2 gutter) = \frac{44}{117}

Dette stemmer med den oppgitte sannsynligheten.

$Det blir 2 gutter med i gruppen.$

Hendelsen $B$ betyr at Betsy er med i gruppen. Det er det samme som å si at Betsy er valgt, og at de resterende $4$ plassene i gruppen fylles med tilfeldig valgte elever blant de $27$ andre elevene i klassen (28 elever minus Betsy selv). Dermed er

P (B) = \frac{(\binom{27}{4})}{(\binom{28}{5})}

Hendelsen $A \cap B$ betyr at både Arne og Betsy er med i gruppen. Det vil si at Arne ( $(\binom{1}{1})$ måter å velge ham på) og Betsy begge er valgt, mens de resterende $3$ plassene fylles blant de $26$ andre elevene (28 minus Arne og Betsy):

P (A \cap B) = \frac{(\binom{1}{1}) \cdot (\binom{26}{3})}{(\binom{28}{5})}

Betinget sannsynlighet er per definisjon

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{\frac{(\binom{1}{1}) \cdot (\binom{26}{3})}{(\binom{28}{5})}}{\frac{(\binom{27}{4})}{(\binom{28}{5})}} = \frac{(\binom{1}{1}) \cdot (\binom{26}{3})}{(\binom{27}{4})}

som er uttrykket vi skulle forklare. Verdien er beregnet i CAS (linje Pc på skjermbildet over):

P (A | B) = \frac{4}{27}

$P (A | B) = \frac{4}{27}$

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2014, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kombinatorikk, Sannsynlighet, Betinget sannsynlighet, Hypergeometrisk fordeling

Kombinatorikk med klasse og betinget sannsynlighet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kombinatorikk med klasse og betinget sannsynlighet

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kombinatorikk med klasse og betinget sannsynlighet

Kombinatorikk med klasse og betinget sannsynlighet

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer