Inntektsfunksjon med eksponential

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En bedrift produserer og selger en vare. Når prisen er $p$ kroner per enhet, er inntekten $I$ kroner per uke gitt ved

I (p) = 1500 p \cdot e^{- 0.05 p}, p \in [10, 80]

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $I$ .

Kalkulator

Bestem den prisen som gir høyest inntekt.

La $x$ være antall solgte enheter av varen en uke.

For hånd

Vis at $I (x) = 20 x \cdot \ln (\frac{1500}{x})$

Den faste kostnaden for produksjonen er 2000 kroner per uke. I tillegg koster det 15 kroner for hver enhet bedriften produserer.

Kalkulator

Bestem det største overskuddet bedriften kan få per uke.

Fasit

Se løsningsforslag

$p = 20 kr$

Se løsningsforslag

$\approx 3213 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $I (p) = 1500 p \cdot e^{- 0,05 p}$ for $p \in [10, 80]$ i GeoGebra.

Graf: Inntektsfunksjon

Vi finner toppunktet ved å derivere og sette lik null i CAS (se linje 1–2 under).

CAS: Inntektsfunksjon

Fra linje 2 i CAS ser vi at $p = 20 kr$ gir høyest inntekt.

Fra $I (p) = 1500 p \cdot e^{- 0,05 p}$ og $x = 1500 \cdot e^{- 0,05 p}$ (antall solgte enheter) får vi

e^{- 0,05 p} = \frac{x}{1500} ⟹ p = - \frac{1}{0,05} \ln \frac{x}{1500} = 20 \ln \frac{1500}{x}

Inntekten uttrykt ved $x$ :

I (x) = x \cdot p = 20 x \cdot \ln (\frac{1500}{x}) ■

Kostnadsfunksjonen er $K (x) = 2000 + 15 x$ .

Overskuddet er $O (x) = I (x) - K (x) = 20 x \cdot \ln (\frac{1500}{x}) - 2000 - 15 x$ .

Vi definerer overskuddsfunksjonen i CAS og finner maksimum:

CAS: Overskudd

Fra linje 4 leser vi av $x \approx 260,7$ og fra linje 5 at det største overskuddet er $\approx 3213 kr$ per uke.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2019, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 8
Temaer: Optimering, Derivasjon, Eksponentialfunksjon, Økonomi, Grenseinntekt og grensekostnad
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Inntektsfunksjon med eksponential

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Inntektsfunksjon med eksponential

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Inntektsfunksjon med eksponential

Inntektsfunksjon med eksponential

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer