Inntekt kostnad og overskudd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

La $x$ være antall produserte og solgte enheter for en bedrift. Sammenhengen mellom $x$ og prisen per enhet er

p (x) = 500 - 0,1 x

Kalkulator

Bestem et uttrykk for inntekten $I (x)$ .

Tabellen nedenfor viser kostnaden ved produksjon av $x$ enheter for en del verdier for $x$ .

$x$	500	1000	1500	2000	2500
$K (x)$	92 300	195 000	310 000	461 000	641 000

Krever PC

Bruk tabellen til å lage en modell for kostnadsfunksjonen $K$ .

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem et uttrykk for overskuddet $O (x)$ . Bruk $O^{'} (x)$ til å bestemme den produksjonsmengden som gir størst overskudd.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Forklar hvorfor løsningen av likningen $K^{'} (x) = I^{'} (x)$ gir samme resultat som i oppgave c).

Fasit

$I (x) = - 0,1 x^{2} + 500 x$

$K (x) \approx 0,0545 x^{2} + 109,31 x + 26 140$

$𝐱 \approx 𝟏𝟐𝟔𝟓$ enheter gir størst overskudd, $O (1265) \approx 216 800 kr$

$O^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow I^{'} (x) = K^{'} (x)$ — samme likning

LøsningsforslagKI-generert

Inntekten er pris per enhet multiplisert med antall solgte enheter:

I (x) = p (x) \cdot x = (500 - 0,1 x) \cdot x

𝐈 (𝐱) = - 𝟎,𝟏 𝐱^{𝟐} + 𝟓𝟎𝟎 𝐱

Vi bruker regresjon av 2. grad (RegPoly) på datapunktene fra tabellen. Med full regresjon får vi:

𝐊 (𝐱) \approx 𝟎,𝟎𝟓𝟒𝟓 𝐱^{𝟐} + 𝟏𝟎𝟗,𝟑𝟏 𝐱 + 𝟐𝟔 𝟏𝟒𝟎

Overskuddet er inntekt minus kostnad:

O (x) = I (x) - K (x) = (- 0,1 x^{2} + 500 x) - (0,0545 x^{2} + 109,31 x + 26 140)

O (x) = - 0,1545 x^{2} + 390,69 x - 26 140

Størst overskudd finner vi ved å sette den deriverte lik null:

O^{'} (x) = - 0,309 x + 390,69 = 0

x = \frac{390,69}{0,309} \approx 𝟏𝟐𝟔𝟓 enheter

Dette gir maksimalt overskudd siden $O^{''} (x) = - 0,309 < 0$ (toppunkt).

Største overskudd:

O (1265) \approx - 0,1545 \cdot 1265^{2} + 390,69 \cdot 1265 - 26 140 \approx 𝟐𝟏𝟔 𝟖𝟎𝟎 kr

Vi har at $O (x) = I (x) - K (x)$ , og derfor:

O^{'} (x) = I^{'} (x) - K^{'} (x)

Å sette $O^{'} (x) = 0$ gir:

I^{'} (x) - K^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 𝐈^{'} (𝐱) = 𝐊^{'} (𝐱)

Geometrisk betyr dette at grenseinntekten (stigningstallet til $I$ ) og grensekostnaden (stigningstallet til $K$ ) er like. Overskuddet er størst der inntektskurven og kostnadskurven har samme stigningstall — dvs. der tangentene er parallelle. Øker vi produksjonen videre, vokser kostnadene raskere enn inntektene, og overskuddet minker.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2014, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Kostnadsfunksjon, Optimering, Regresjon, Grenseinntekt og grensekostnad

Inntekt kostnad og overskudd

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Inntekt kostnad og overskudd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Inntekt kostnad og overskudd

Inntekt kostnad og overskudd

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer