Vi trekker linjestykket $AS$. Da får vi to trekanter, $△ASD$ og $△ASE$:

• $SD=SE=r$ (begge er radier i sirkelen)
• $AS$ er felles side
• $\angle ADS=\angle AES=90°$ (en radius står alltid vinkelrett på tangenten i tangeringspunktet)

Trekantene har dermed rett vinkel, lik hypotenus ($AS$) og et likt katet ($SD=SE$), så $△ASD\cong △ASE$. Dermed er $AD=AE$.

På samme måte gir trekantene $△BSF$ og $△BSE$ (med $SF=SE=r$, felles side $BS$ og rette vinkler i $F$ og $E$) at $△BSF\cong △BSE$, altså $BF=BE$.

Se på firkanten $CDSF$: $\angle C=90°$ (gitt), $\angle SDC=90°$ og $\angle SFC=90°$ (radius vinkelrett på tangent). Vinkelsummen i en firkant er $360°$, så også $\angle DSF=90°$. Firkanten er da et rektangel, og siden $SD=SF=r$ er det i tillegg et kvadrat. Dermed er

Sidene i trekanten blir da

siden $AD=AE=x$ og $BF=BE=y$ fra a).

Vi setter uttrykkene fra b) inn i $a+b-c$:

Altså er

Med egne ord: I en rettvinklet trekant er summen av katetene minus hypotenusen alltid lik to ganger radien (diameteren) i den innskrevne sirkelen.

Vi bruker de kongruente trekantene fra a). Fra $△ASD\cong △ASE$ følger det at $\angle DAS=\angle EAS$. Siden $D$ ligger på $AC$ og $E$ ligger på $AB$, betyr dette at $AS$ deler $\angle A=\angle CAB$ i to like store deler — altså at $AS$ halverer $\angle A$.

Tilsvarende gir $△BSF\cong △BSE$ at $\angle FBS=\angle EBS$, så $BS$ halverer $\angle B$.

For $C$ ser vi på $△CDS$ og $△CFS$: $CD=CF=r$ (fra b)), $CS$ er felles side, og $\angle CDS=\angle CFS=90°$. Dermed er $△CDS\cong △CFS$, som gir $\angle DCS=\angle FCS$, altså at $CS$ halverer $\angle C$.

Dette viser at linjene fra hjørnene til sentrum $S$ i den innskrevne sirkelen er nettopp vinkelhalveringslinjene til trekanten. (Dette stemmer med at $S$ er skjæringspunktet mellom vinkelhalveringslinjene — innsenteret.)

Med $r=2\text{ cm}$ og $a=5\text{ cm}$ kan trekanten konstrueres slik, ved å bruke resultatene fra oppgavene ovenfor:

1. Konstruer en rett vinkel i $C$ (de to kateten står vinkelrett på hverandre).

2. Avsett $B$ på den ene kateten slik at $CB=a=5\text{ cm}$.

3. Avsett punktet $F$ på $CB$ med $CF=r=2\text{ cm}$, og punktet $D$ på den andre kateten med $CD=r=2\text{ cm}$ (jamfør b), der $CDSF$ er et kvadrat med side $r$).

4. Reis normaler på kateten i $D$ og i $F$. Disse normalene skjærer hverandre i sentrum $S$, og $CDSF$ blir automatisk et kvadrat med side $2\text{ cm}$.

5. Tegn sirkelen med sentrum $S$ og radius $r=2\text{ cm}$. Den er nå tangent til begge katetene, i $D$ og $F$.

6. For å finne tangeringspunktet $E$ på hypotenusen (og dermed hjørnet $A$), konstrueres tangenten fra $B$ til sirkelen med Thales’ setning: Konstruer sirkelen med diameter $BS$ (Thales-sirkelen). Den skjærer $r$-sirkelen i to punkter — det ene er $F$ (siden $\angle BFS=90°$ allerede), det andre er det nye punktet $E$ (siden $\angle BES=90°$, altså $SE⟂BE$, som er nettopp tangentbetingelsen).

7. Trekk linjen $BE$ og forleng den til den skjærer den andre kateten (linja gjennom $C$ og $D$) i punktet $A$.

8. Trekk til slutt $CA$. Trekanten $ABC$ med innskrevet sirkel er dermed konstruert.

   

Med disse verdiene ($a=5$, $r=2$) blir for øvrig $b=12\text{ cm}$ og $c=13\text{ cm}$ (en $5$-$12$-$13$-trekant), som stemmer med $a+b-c=5+12-13=4=2r$.