Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant areal og radius

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I en rettvinklet $△ A B C$ er det innskrevet en sirkel med radius $r$ . Trekantens sider tangerer sirkelen i $D$ , $E$ og $F$ . Vi setter $B E = α$ og $E C = β$ .

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant

Forklar at $C F = β$ og $B D = α$ , og at arealet av trekanten $A B C$ er gitt ved

A_{△ A B C} = (α + β) \cdot r + r^{2}

Pytagoras-setningen brukt på $△ A B C$ gir at ${(α + r)}^{2} + {(β + r)}^{2} = {(α + β)}^{2}$

Vis at denne likningen kan omformes til

r^{2} + (α + β) \cdot r = α \cdot β

og videre at

A_{△ A B C} = α \cdot β

Vi setter $α = 3$ og $β = 2$ . Bestem $A_{△ A B C}$ og $r$

Fasit

$A_{△ A B C} = (α + β) \cdot r + r^{2}$ (vist)

$A_{△ A B C} = α \cdot β$

$A_{△ A B C} = 6$ og $r = 1$

LøsningsforslagKI-generert

Tangentlinjer fra samme punkt utenfor en sirkel har lik lengde. Fra $B$ går det tangenter til sirkelen langs $A B$ (i punktet $D$ ) og langs $B C$ (i punktet $E$ ), så

B D = B E = α

Fra $C$ går det tilsvarende tangenter langs $A C$ (i punktet $F$ ) og langs $B C$ (i punktet $E$ ), så

C F = C E = β

Fra $A$ går det tangenter langs $A B$ (i $D$ ) og $A C$ (i $F$ ), og siden $∠ A = 90 °$ og radiene $S D$ og $S F$ står vinkelrett på henholdsvis $A B$ og $A C$ , er $A D S F$ et kvadrat med side $r$ . Altså $A D = A F = r$ .

Da blir sidene i trekanten

A B = A D + D B = r + α A C = A F + F C = r + β B C = B E + E C = α + β

Sirkelsenteret $S$ har avstand $r$ til alle tre sidene, så trekanten kan deles i tre deltrekanter $△ A S B$ , $△ B S C$ og $△ C S A$ , alle med høyde $r$ :

A_{△ A B C} = \frac{1}{2} (r + α) \cdot r + \frac{1}{2} (α + β) \cdot r + \frac{1}{2} (r + β) \cdot r

= \frac{r}{2} [(r + α) + (α + β) + (r + β)] = \frac{r}{2} [2 r + 2 α + 2 β]

A_{△ A B C} = (α + β) \cdot r + r^{2}

Pytagoras-setningen på $△ A B C$ (rett vinkel i $A$ , kateter $A B = r + α$ og $A C = r + β$ , hypotenus $B C = α + β$ ) gir

{(α + r)}^{2} + {(β + r)}^{2} = {(α + β)}^{2}

Vi utvider begge sider:

α^{2} + 2 α r + r^{2} + β^{2} + 2 β r + r^{2} = α^{2} + 2 α β + β^{2}

Trekker vi fra $α^{2} + β^{2}$ på begge sider:

2 α r + r^{2} + 2 β r + r^{2} = 2 α β

2 r^{2} + 2 r (α + β) = 2 α β

Deler vi med $2$ :

r^{2} + (α + β) \cdot r = α \cdot β

Venstresiden av denne likningen er nøyaktig uttrykket for $A_{△ A B C}$ fra a), så

A_{△ A B C} = α \cdot β

Med $α = 3$ og $β = 2$ gir formelen fra b) direkte

A_{△ A B C} = α \cdot β = 3 \cdot 2 = 6

For å finne $r$ setter vi $α = 3$ og $β = 2$ inn i likningen $r^{2} + (α + β) \cdot r = α \cdot β$ :

r^{2} + 5 r = 6

r^{2} + 5 r - 6 = 0

Dette gir $(r + 6) (r - 1) = 0$ , altså $r = - 6$ eller $r = 1$ . Siden $r$ er en radius, må $r > 0$ , så

r = 1

Oppgavedata

Hentet fra: R1 E2015, del 1, oppgave 12
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Sirkel, Geometri, Areal og omkrets, Bevis

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant areal og radius

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant areal og radius

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant areal og radius

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant areal og radius

Lov på eksamen

Temaer