Induksjonsbevis for summeformel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise at påstanden $P (n)$ er sann for alle $n \in ℕ$

P (n) : 3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + 9 \cdot 6 + \dots + (3 n) (n + 3) = n (n + 1) (n + 5)

Bevis $P (n)$ ved matematisk induksjon.

Fasit

$P (n) er sann for alle n \in ℕ, bevist ved induksjon$

LøsningsforslagKI-generert

Leddene i summen på venstre side er på formen $3 k (k + 3)$ for $k = 1, 2, \dots, n$ , siden

3 \cdot 1 \cdot (1 + 3) = 3 \cdot 4, 3 \cdot 2 \cdot (2 + 3) = 6 \cdot 5, 3 \cdot 3 \cdot (3 + 3) = 9 \cdot 6, \dots

Vi skal altså vise

P (n) : \sum_{k = 1}^{n} 3 k (k + 3) = n (n + 1) (n + 5)

Steg 1: Basissteg

Vi sjekker $P (1)$ . Venstre side er $3 \cdot 1 \cdot 4 = 12$ . Høyre side er $1 \cdot 2 \cdot 6 = 12$ .

Siden venstre side er lik høyre side, er $P (1)$ sann.

Steg 2: Induksjonssteg

Vi antar at $P (k)$ er sann for et vilkårlig $k \in ℕ$ , altså at

3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + \dots + 3 k (k + 3) = k (k + 1) (k + 5)

Vi skal vise at da er $P (k + 1)$ også sann, altså at

3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + \dots + 3 k (k + 3) + 3 (k + 1) (k + 4) = (k + 1) (k + 2) (k + 6)

Vi tar utgangspunkt i venstre side av $P (k + 1)$ , og bruker induksjonsantakelsen på de $k$ første leddene:

\underset{= k (k + 1) (k + 5)}{\underset{⏟}{3 \cdot 4 + 6 \cdot 5 + \dots + 3 k (k + 3)}} + 3 (k + 1) (k + 4)

= k (k + 1) (k + 5) + 3 (k + 1) (k + 4)

Vi faktoriserer ut $(k + 1)$ :

= (k + 1) [k (k + 5) + 3 (k + 4)]

= (k + 1) [k^{2} + 5 k + 3 k + 12]

= (k + 1) [k^{2} + 8 k + 12]

Uttrykket i klammen faktoriseres videre, siden $2 \cdot 6 = 12$ og $2 + 6 = 8$ :

= (k + 1) (k + 2) (k + 6)

Dette er nettopp høyre side av $P (k + 1)$ , siden $(k + 1) + 1 = k + 2$ og $(k + 1) + 5 = k + 6$ . Altså er $P (k + 1)$ sann når $P (k)$ er sann.

Steg 3: Konklusjon

Siden $P (1)$ er sann, og $P (k)$ sann medfører $P (k + 1)$ sann, er

P (n) sann for alle n \in ℕ ved induksjonsprinsippet

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2019, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker

Innstillinger