Vi analyserer egenskapene til $f(x)=4x\cdot e^{-x}$ og bruker dem til å utelukke grafer.

Nullpunkt

$f(x)=0$ krever $4x=0$ siden $e^{-x}>0$ for alle $x$. Funksjonen har derfor bare ett nullpunkt: $x=0$. En riktig graf må krysse $x$-aksen nøyaktig én gang, i origo.

Fortegn

For $x>0$: $4x>0$ og $e^{-x}>0$, så $f(x)>0$.

For $x<0$: $4x<0$ og $e^{-x}>0$, så $f(x)<0$.

Grafen er negativ til venstre for origo og positiv til høyre.

Toppunkt

Vi deriverer med produktregelen:

$f^{\prime }(x)=0$ gir $1-x=0$, altså $x=1$.

• For $x<1$: $f^{\prime }(x)>0$ (voksende)
• For $x>1$: $f^{\prime }(x)<0$ (avtagende)

Funksjonen har et globalt maksimum ved $x=1$ med funksjonsverdi

Oppførsel i det uendelige

Når $x\to +\infty$: eksponentleddet $e^{-x}\to 0$ raskere enn $x$ vokser, så $f(x)\to 0^{+}$ (grafen nærmer seg $x$-aksen fra over).

Når $x\to -\infty$: $4x\to -\infty$ og $e^{-x}\to +\infty$, så $f(x)\to -\infty$.

Konklusjon

Den riktige grafen kjennetegnes av:

• Nøyaktig ett nullpunkt i origo
• Negativ for $x<0$, positiv for $x>0$
• Ett toppunkt ved $(1,4/e)\approx (1;\mathrm{1,47})$
• Går mot $0$ fra over når $x\to +\infty$
• Går mot $-\infty$ når $x\to -\infty$

Bare graf II oppfyller alle disse egenskapene: toppunktet ligger nøyaktig ved $x=1$, og kurven avtar langsomt mot $x$-aksen uten å krysse den på nytt. Graf I har toppunkt for langt til venstre (ved $x\approx \mathrm{0,5}$), graf III krysser $x$-aksen på nytt ved $x=2$ (to nullpunkter), og graf IV avtar for raskt.