Hypotesetest med terninger

Kalkulator

Sigrid har to terninger som hun syntes mistenkelig ofte gir seksere. Hun testet derfor de to terningene ved å kaste dem 100 ganger og telle opp antall ganger begge terningene gav seksere.

Det viste seg begge terningene gav seksere sju ganger.

Bruk det du har lært om hypotesetesting og sannsynlighet til å avgjøre om Sigrid kan ha grunn til mistanken. Synliggjør de forutsetningene du mener er nødvendige for utregningene dine.

Fasit

På 5 % signifikansnivå: $p -verdi \approx 2,17 % < 5 %$ — vi forkaster $H_{0}$ . Sigrid har grunn til mistanken.

På 1 % signifikansnivå: $p -verdi \approx 2,17 % > 1 %$ — vi beholder $H_{0}$ . Ikke nok bevis.

LøsningsforslagKI-generert

Forutsetninger

Vi legger til grunn to forutsetninger:

Hvert kast er uavhengig av de andre (det ene kastet påvirker ikke det neste).
Sannsynligheten for at begge terningene viser sekser i ett kast er $p_{0} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$ dersom terningene er rettferdige og uavhengige.

Hypoteser

H_{0} : p = \frac{1}{36} (terningene er rettferdige)

H_{1} : p > \frac{1}{36} (terningene gir doble seksere for ofte)

Dette er en ensidig test (vi tester kun om terningene gir for mange doble seksere).

Testobservator

La $X$ være antall kast der begge terningene viser sekser. Under $H_{0}$ er $X$ binomisk fordelt med $n = 100$ og $p = \frac{1}{36}$ .

Sigrid observerte $X = 7$ .

Beregning av p-verdi

P-verdien er sannsynligheten for å få minst like ekstremt resultat som observert, gitt at $H_{0}$ er sann:

p -verdi = P (X \geq 7) = \sum_{k = 7}^{100} (\binom{100}{k}) {(\frac{1}{36})}^{k} {(\frac{35}{36})}^{100 - k}

Vi beregner dette i GeoGebra CAS:

GeoGebra CAS – p-verdi for hypotesetest

Se P_verdi i linje 4: $P (X \geq 7) \approx 0,02174 \approx 2,17 %$ .

Konklusjon

På 5 % signifikansnivå:

p -verdi \approx 2,17 % < 5 %

P-verdien er lavere enn signifikansnivået, så vi forkaster $H_{0}$ . Resultatet er statistisk signifikant. Sigrid har grunn til å mistenke at terningene gir doble seksere for ofte.

På 1 % signifikansnivå:

p -verdi \approx 2,17 % > 1 %

P-verdien er høyere enn signifikansnivået, så vi beholder $H_{0}$ . Vi har ikke tilstrekkelig statistisk bevis. På 1 %-nivå er ikke resultatet signifikant.

Alternativ løsning med kalkulator (eksamen 2027)

Kalkulatoren har ingen binomisk fordeling, men formelen står i formelheftet. Med komplementregelen blir det bare sju ledd å summere:

P (X \geq 7) = 1 - P (X \leq 6) = 1 - \sum_{k = 0}^{6} (\binom{100}{k}) {(\frac{1}{36})}^{k} {(\frac{35}{36})}^{100 - k}

$k$	0	1	2	3	4	5	6
$P (X = k)$	0,0598	0,1708	0,2416	0,2255	0,1562	0,0857	0,0388

Summen er $P (X \leq 6) \approx 0,9783$ , og dermed

P (X \geq 7) \approx 1 - 0,9783 = 0,0217 = 2,17 %

Det er samme p-verdi som CAS gav, og konklusjonen blir den samme.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 E2022, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Hypotesetest, Binomisk fordeling, Sannsynlighet
Kompetansemål: Simulere utfall i, utforske og tolke ulike statistiske fordelinger, og gi eksempler på reelle anvendelser av disse fordelingene
Gjennomføre hypotesetesting i reelle datasett og tolke resultatet

Hypotesetest med terninger

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Hypotesetest med terninger

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forutsetninger

Hypoteser

Testobservator

Beregning av p-verdi

Konklusjon

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Hypotesetest med terninger

Hypotesetest med terninger

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forutsetninger

Hypoteser

Testobservator

Beregning av p-verdi

Konklusjon

Temaer