Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En grossist som selger jordbær, har over tid registrert at $10 %$ av jordbærkassene inneholder bær som er ødelagt. En dag mottar grossisten $50$ kasser. Vi antar at $10 %$ av kassene inneholder bær som er ødelagt.

Kalkulator

Hva er sannsynligheten for at akkurat $5$ av kassene har ødelagte bær?

Kalkulator

Finn sannsynligheten for at minst $5$ kasser inneholder ødelagte bær.

Grossisten får mistanke om at mer enn $10 %$ av kassene inneholder ødelagte bær. For å undersøke forholdet nærmere kontrollerer han $90$ kasser. Ved denne kontrollen viser det seg at $15$ av de $90$ kassene inneholder bær som er ødelagt.

Vi lar $p$ være sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kasse inneholder ødelagte bær.

Kalkulator

Sett opp en nullhypotese og en alternativ hypotese som passer til denne problemstillingen. Forklar hvordan du har tenkt.

Kalkulator

Undersøk om resultatet av kontrollen gir grunnlag for å si at kvaliteten på jordbærene har blitt dårligere. Velg et signifikansnivå på $5 %$ .

Fasit

$P (X = 5) \approx 0,1849$

$P (X \geq 5) \approx 0,5688$

$H_{0} : p = 0,10$ , $H_{1} : p > 0,10$

$p -verdi \approx 0,0333 < 0,05 \Rightarrow forkast H_{0}$

LøsningsforslagKI-generert

a og b

La $X$ være antall kasser med ødelagte bær blant de $50$ kassene grossisten mottar. Siden hver kasse uavhengig av de andre har sannsynlighet $10 %$ for å inneholde ødelagte bær, er $X$ binomisk fordelt med $n = 50$ og $p = 0,10$ .

Vi bruker GeoGebra CAS til å beregne sannsynlighetene direkte fra binomisk-formelen $P (X = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}$ :

P (X = 5) = (\binom{50}{5}) \cdot {0,10}^{5} \cdot {0,90}^{45}

P (X \geq 5) = 1 - \sum_{i = 0}^{4} (\binom{50}{i}) \cdot {0,10}^{i} \cdot {0,90}^{50 - i}

GeoGebra CAS-utregning

Fra utklippet (P5 og PMinst5) ser vi at

P (X = 5) \approx 0,1849

P (X \geq 5) \approx 0,5688

Svar:

Sannsynligheten for at akkurat $5$ av de $50$ kassene har ødelagte bær, er $P (X = 5) \approx 0,1849$ , altså om lag $18,5 %$ .

Sannsynligheten for at minst $5$ kasser har ødelagte bær, er $P (X \geq 5) \approx 0,5688$ , altså om lag $56,9 %$ .

Grossisten har mistanke om at andelen kasser med ødelagte bær har økt utover de kjente $10 %$ . Vi lar $p$ være den sanne (ukjente) sannsynligheten for at en tilfeldig kasse inneholder ødelagte bær, og setter opp en test der nullhypotesen er «ingen endring», mens den alternative hypotesen er påstanden grossisten vil undersøke («andelen har økt»):

H_{0} : p = 0,10

H_{1} : p > 0,10

Dette er en ensidig test fordi grossisten spesifikt mistenker at kvaliteten er blitt dårligere (en høyere andel ødelagte kasser), ikke bare at andelen har endret seg i en av retningene.

Vi tester $H_{0} : p = 0,10$ mot $H_{1} : p > 0,10$ på signifikansnivå $5 %$ , basert på et utvalg på $n = 90$ kasser der $x = 15$ viste seg å inneholde ødelagte bær.

Under $H_{0}$ er antall ødelagte kasser $Y$ i utvalget binomisk fordelt med $n = 90$ og $p = 0,10$ . Vi finner $p$ -verdien, altså sannsynligheten for å få et resultat som er minst like ekstremt som det observerte ( $15$ eller flere ødelagte kasser), gitt at $H_{0}$ er sann:

p -verdi = P (Y \geq 15) = 1 - \sum_{i = 0}^{14} (\binom{90}{i}) \cdot {0,10}^{i} \cdot {0,90}^{90 - i}

Fra samme GeoGebra CAS-utklipp (PVerdi) over ser vi at

p -verdi \approx 0,0333

Siden $p -verdien \approx 0,0333 < 0,05$ , forkaster vi $H_{0}$ .

Svar: $p -verdi \approx 0,0333 < 0,05 \Rightarrow forkast H_{0}$ . Resultatet av kontrollen gir dermed grunnlag for å si at kvaliteten på jordbærene har blitt dårligere — andelen kasser med ødelagte bær ser ut til å ha økt utover de tidligere kjente $10 %$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2010, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Binomisk fordeling, Hypotesetest, Sannsynlighet

Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

a og b

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser

Hypotesetest for ødelagte jordbærkasser

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

a og b

Temaer