Finner skjæringspunktene generelt. Vi skal løse $f(x)=g(x)$, altså

Begge sider er $\ge 0$ for $x\ge 0$ (siden $a,b\in \mathbb{N}$), så vi kan kvadrere begge sider uten å miste eller få falske løsninger:

Dette gir $x=0$ (origo, det trivielle skjæringspunktet) eller

Når blir koordinatene hele tall? Skjæringspunktet ligger på $f$, så $y=a{x}^2$. Hvis $x$ er et helt tall, er $y=a{x}^2$ automatisk også et helt tall (produkt av hele tall). Så det er kun $x$ som må sjekkes.

Vi krever altså at $x^3=b/a^2$ gir et naturlig tall $x$. Det betyr at

for et valgt $a\in \mathbb{N}$ og et valgt $x\in \mathbb{N}$. Da blir skjæringspunktet $(x,a{x}^2)$, med begge koordinater hele tall.

Kontroll mot eksempelet: $a=2$, $x=2$ gir $b=2^2\cdot 2^3=4\cdot 8=32$, og skjæringspunktet er $(2,2\cdot 2^2)=(2,8)$ — akkurat som oppgitt.

Systematisk utforskning, slik oppgaven foreslår (start med $a=1$, så $a=2,3,\dots$):

$a$	$x=1$: $b=a^2$	$x=2$: $b=8a^2$	$x=3$: $b=27a^2$	$x=4$: $b=64a^2$
$1$	$b=1\to (\mathrm{1,1})$	$b=8\to (\mathrm{2,4})$	$b=27\to (\mathrm{3,9})$	$b=64\to (\mathrm{4,16})$
$2$	$b=4\to (\mathrm{1,2})$	$b=32\to (\mathrm{2,8})$	$b=108\to (\mathrm{3,18})$	$b=256\to (\mathrm{4,32})$
$3$	$b=9\to (\mathrm{1,3})$	$b=72\to (\mathrm{2,12})$	$b=243\to (\mathrm{3,27})$	$b=576\to (\mathrm{4,48})$

Mønsteret i tabellen bekrefter formelen: for hver rad (fast $a$) er $b$-verdiene $a^2,8a^2,27a^2,64a^2,\dots$, altså $a^2$ ganger kubikktall ($1^3,2^3,3^3,4^3,\dots$).

Konklusjon: Det finnes uendelig mange par $(a,b)$ med heltallige skjæringspunkter — ett for hvert valg av $a\in \mathbb{N}$ og $x\in \mathbb{N}$, gitt ved $b=a^2{x}^3$, med skjæringspunkt $(x,a{x}^2)$.