Grenseinntekt og grensekostnad på del 2

En bedrift produserer og selger $x$ enheter av en vare per uke. Tabellen nedenfor viser kostnaden ved ulike produksjonsmengder.

Produksjon (enheter per uke)	10	20	40	50
Kostnad (kroner)	400	850	2070	2890

En modell for kostnaden $K (x)$ kroner kan skrives på formen

K (x) = a x^{2} + b x + c

Krever PC

Vis at $K^{'} (x) = 1,23 x + 25$

Inntekten $I (x)$ kroner per uke er gitt ved

I (x) = 3000 \cdot \ln (5 x)

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem $I^{'} (35)$ og $K^{'} (35)$ . Gi en praktisk tolkning av svarene.

Kalkulator + svaret på tidligere oppgave

Bestem $\int_{20}^{30} K^{'} (x) d x$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

Regresjon gir $K (x) = 0,617 x^{2} + 25 x + 93,33$ , som deriveres til $K^{'} (x) = 1,23 x + 25$ .

$I^{'} (35) = 85,71 og K^{'} (35) = 68,19$

558,5 kr. Dette er differansen mellom produksjonskostnader for 20 enheter og 30 enheter.

Løsningsforslag

Regresjon i GeoGebra

Vi finner en andregradsmodell for kostnadene ved hjelp av regresjon i GeoGebra. Se utklippet over.

K (x) = 0,617 x^{2} + 25 x + 93,33

Grenseinntekten $K^{'} (x) = 2 \cdot 0,617 x + 25 = 1,23 x + 25$ .

Grenseinntekt og grensekostnad i GeoGebra

Se linje 3 og 4 i CAS.

I^{'} (35) = 85,71 og K^{'} (35) = 68,19

Her øker grenseinntekten mer enn grensekostnaden, altså vil vi tjene mer penger ( $85,71 kr$ ) på å produsere en mer enhet, enn hva vi må betale i produksjonskostnader for å produsere en mer enhet ( $68,19 kr$ ). Vi tjener altså omtrent $85,71 - 68,19 = 17,5$ kr på å produsere og selge 36 enheter framfor 35 enheter.

Se linje 5 i CAS.

\int_{20}^{30} K^{'} (x) d x = 558,5

Dette er det bestemte integralet av grensekostnaden $K^{'} (x)$ , altså vil svaret vårt tilsvare

\int_{20}^{30} K^{'} (x) d x = K (30) - K (20)

558,5 kr er altså differansen i produksjonskostnader mellom å produsere 20 enheter og 30 enheter.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Riktig regresjon for å finne $K (x)$ kan gi 1 poeng.

1 poeng for å finne verdiene, 1 poeng for tolkningene.

1 poeng for å finne verdien og 1 poeng for praktisk tolkning.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2025, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Regresjon, Tolkning av integraler, Samlet mengde, Grenseinntekt og grensekostnad, Derivasjon
Kompetansemål: Forstå definisjonen av det bestemte integralet og anvende integralet til å analysere funksjoner
Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Finne grensekostnader og grenseinntekter i økonomiske modeller, og gjøre rede for betydningen av disse størrelsene

Grenseinntekt og grensekostnad på del 2

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Grenseinntekt og grensekostnad på del 2

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Grenseinntekt og grensekostnad på del 2

Grenseinntekt og grensekostnad på del 2

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer