Gjennomsnittsskåre og hypotesetest

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Ved en stor videregående skole skal 100 tilfeldig valgte elever ta en matematikktest. Fra tidligere vet vi at poengskåren $X$ til en tilfeldig valgt elev ved denne skolen er tilnærmet normalfordelt med forventningsverdi 50 poeng og standardavvik 8 poeng. Vi antar at ferdighetene til ulike elever er uavhengige av hverandre.

La $\bar{X}$ være gjennomsnittsskåren til 100 tilfeldig valgte elever.

Begrunn at $\text{E}(\bar{X}) = 50$ og $\text{SD}(\bar{X}) = 0{,}8$ .

Hva er sannsynligheten for at gjennomsnittsskåren til de 100 elevene blir mellom 49 og 51 poeng?

Skolen hadde en mistanke om at elevene et år var flinkere enn normalt. Det viste seg at gjennomsnittsskåren til de 100 tilfeldig valgte elevene som tok testen, ble 51,5 poeng.

Sett opp en hypotesetest, og bruk den til å avgjøre om det er grunnlag for mistanken. Bruk et signifikansnivå på 5 %.

Fasit

$\text{E}(\bar{X}) = \underline{\underline{50}}$ , $\text{SD}(\bar{X}) = \underline{\underline{0{,}8}}$

$P(49 < \bar{X} < 51) \approx \underline{\underline{0{,}789}}$

$p\text{-verdi} \approx 0{,}030 < 0{,}05$ — forkast $H_0$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $n = 100$ uavhengige elever, og poengskåren $X$ til én tilfeldig elev er tilnærmet normalfordelt med $\mu = 50$ og $\sigma = 8$ .

La $\bar{X} = \dfrac{X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}}{100}$ være gjennomsnittsskåren.

Forventningsverdi:

\text{E}(\bar{X}) = \text{E}\!\left(\frac{X_1 + \cdots + X_{100}}{100}\right) = \frac{1}{100} \cdot \bigl(\text{E}(X_1) + \cdots + \text{E}(X_{100})\bigr) = \frac{1}{100} \cdot 100 \cdot 50 = \underline{\underline{50}}

Dette følger av regneregelen $\text{E}(aX) = a \cdot \text{E}(X)$ og $\text{E}(X_1 + \cdots + X_n) = n \cdot \text{E}(X)$ når variablene er identisk fordelte.

Standardavvik:

Siden variablene er uavhengige, gjelder $\text{Var}(X_1 + \cdots + X_{100}) = 100 \cdot \text{Var}(X) = 100 \cdot 8^2 = 6400$ .

\text{SD}(\bar{X}) = \frac{\text{SD}(X)}{\sqrt{n}} = \frac{8}{\sqrt{100}} = \frac{8}{10} = \underline{\underline{0{,}8}}

Siden $X$ er tilnærmet normalfordelt, er $\bar{X}$ tilnærmet normalfordelt med $\mu_{\bar{X}} = 50$ og $\sigma_{\bar{X}} = 0{,}8$ .

Vi standardiserer grensene:

z_1 = \frac{49 - 50}{0{,}8} = -1{,}25 \qquad z_2 = \frac{51 - 50}{0{,}8} = 1{,}25

P(49 < \bar{X} < 51) = P(-1{,}25 < Z < 1{,}25) = \Phi(1{,}25) - \Phi(-1{,}25)

Vi beregner i GeoGebra CAS:

Fra CAS (rad 1–3): $z_1 = -1{,}25$ , $z_2 = 1{,}25$ og $P_b \approx 0{,}7887$ .

P(49 < \bar{X} < 51) \approx \underline{\underline{0{,}789}}

Det er altså omtrent $78{,}9\,\%$ sannsynlighet for at gjennomsnittsskåren havner mellom 49 og 51 poeng.

Hypoteser:

H_0\colon \mu = 50 \qquad H_1\colon \mu > 50

$H_0$ er at elevene presterer som normalt (gjennomsnitt 50 poeng). $H_1$ er at elevene var flinkere enn normalt. Vi bruker ensidig test siden mistanken går i én retning (flinkere).

Testobservator:

Observert gjennomsnitt: $\bar{x} = 51{,}5$ .

z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma_{\bar{X}}} = \frac{51{,}5 - 50}{0{,}8} = \frac{1{,}5}{0{,}8} = 1{,}875

P-verdi:

p\text{-verdi} = P(\bar{X} \geq 51{,}5 \mid H_0) = P(Z \geq 1{,}875) = 1 - \Phi(1{,}875)

Fra CAS (rad 4–5): $z_3 = 1{,}875$ og $p\text{-verdi} \approx 0{,}0304$ .

Konklusjon:

Siden $p\text{-verdi} \approx 0{,}030 < 0{,}05$ , forkaster vi $H_0$ på $5\,\%$ signifikansnivå.

Det er statistisk grunnlag for mistanken om at elevene var flinkere enn normalt dette året.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Normalfordeling, Hypotesetest, Sannsynlighet

Gjennomsnittsskåre og hypotesetest

Sync på tvers av enheter

Gjennomsnittsskåre og hypotesetest

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave