Gjennomsnittlig vekstfart til $f$ på intervallet $[-1,1]$ er

Vi finner funksjonsverdiene:

Da blir den gjennomsnittlige vekstfarten

Gjennomsnittlig vekstfart er $\underline{\underline{-2}}$.

Vi deriverer $f$:

I punktet $x=0$ er

Grafen har altså en horisontal tangent i $x=0$. For at $(\mathrm{0,2})$ skal være et terrassepunkt, må $f^{\prime }$ ha samme fortegn på begge sider av $x=0$ (da er ikke punktet et toppunkt eller bunnpunkt, men et “flatt” vendepunkt).

Vi undersøker fortegnet til $f^{\prime }(x)=2x^2(2x-3)$ for $x$ nær $0$:

• Faktoren $2x^2\ge 0$ for alle $x$, og er lik $0$ bare i $x=0$.
• Faktoren $(2x-3)$ er negativ for alle $x<\mathrm{1,5}$, altså også for $x$ litt mindre og litt større enn $0$.

Dermed er $f^{\prime }(x)<0$ for alle $x$ nær $0$ (bortsett fra i $x=0$ selv, der $f^{\prime }(0)=0$). Fortegnet til $f^{\prime }$ er altså negativt på begge sider av $x=0$ — det skifter ikke fortegn. Dette betyr at $f$ er avtagende hele veien gjennom $x=0$, og punktet er dermed verken et topp- eller bunnpunkt.

Siden $f^{\prime }(0)=0$ og $f^{\prime }$ ikke skifter fortegn i $x=0$, er $x=0$ et terrassepunkt.

Vi finner $y$-koordinaten:

Dermed er $(0,2)$ et terrassepunkt på grafen til $f$, slik vi skulle vise.