Geometrisk rekke og uendelig sum

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rekke er gitt ved

1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}}

Forklar at dette er en geometrisk rekke. Bestem et uttrykk for summen $S_n$ av rekken.

Bestem summen av den uendelige rekken $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$

Fasit

$S_n = 2\left(1 - \dfrac{1}{2^n}\right)$

$S = 2$

LøsningsforslagKI-generert

Vi sjekker kvotienten mellom påfølgende ledd:

k = \frac{a_{i}}{a_{i-1}} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}

Kvotienten er konstant, så rekken er geometrisk med første ledd $a_1 = 1$ og kvotient $k = \dfrac{1}{2}$ .

Sumformelen for en geometrisk rekke er

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - k^n}{1 - k}

Vi setter inn $a_1 = 1$ og $k = \dfrac{1}{2}$ :

S_n = 1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = 2\left(1 - \frac{1}{2^n}\right)

Siden $|k| = \dfrac{1}{2} < 1$ konvergerer den uendelige rekken. Summen er

S = \frac{a_1}{1 - k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter