Geometrisk rekke og periodisk desimaltall

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Forklar at den geometriske rekken $3 + \frac{3}{4} + \frac{3}{16} + \dots$ konvergerer. Bestem summen av rekken.

Forklar at desimaltallet $0,242424 \dots$ kan skrives som den uendelige geometriske rekken

\frac{24}{100} + \frac{24}{100^{2}} + \frac{24}{100^{3}} + \dots

Bruk dette til å skrive tallet $0,242424 \dots$ som en brøk.

Fasit

$S = 4$

$0,242424 \dots = \frac{8}{33}$

LøsningsforslagKI-generert

Den geometriske rekken $3 + \frac{3}{4} + \frac{3}{16} + \dots$ har første ledd $a_{1} = 3$ og kvotient

k = \frac{\frac{3}{4}}{3} = \frac{1}{4}

Siden $| k | = \frac{1}{4} < 1$ konvergerer rekken.

Summen av en uendelig geometrisk rekke er $s = \frac{a_{1}}{1 - k}$ , så

s = \frac{3}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{3}{\frac{3}{4}} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 𝟒

Desimaltallet $0,242424 \dots$ betyr at sifrene $24$ gjentas uendelig mange ganger. Vi kan skrive det som en sum:

0,242424 \dots = \frac{24}{100} + \frac{24}{10000} + \frac{24}{1000000} + \dots = \frac{24}{100} + \frac{24}{100^{2}} + \frac{24}{100^{3}} + \dots

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_{1} = \frac{24}{100}$ og kvotient $k = \frac{1}{100}$ .

Siden $| k | = \frac{1}{100} < 1$ konvergerer rekken, og summen er

s = \frac{\frac{24}{100}}{1 - \frac{1}{100}} = \frac{\frac{24}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{24}{100} \cdot \frac{100}{99} = \frac{24}{99} = \frac{𝟖}{𝟑𝟑}

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2018, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Uendelig rekke, Argumentasjon

Innstillinger