Geometrisk rekke med kvotient 3 over 2

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Vi har gitt rekken

1 + \frac{3}{2} + \frac{9}{4} + \frac{27}{8} + \cdots + \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}

Bestem $S_{10}$

Finn et uttrykk for $S_n$

Hvor mange ledd må vi minst ta med for at $S_n$ skal overstige $1\,000\,000$ ?

Fasit

1) $S_{10} = \dfrac{58025}{512} \approx 113{,}33$

$S_n = 2\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^n - 2$

$n = 33$

LøsningsforslagKI-generert

Vi identifiserer rekken som en geometrisk rekke med første ledd $a_1 = 1$ og kvotient $k = \dfrac{3}{2}$ .

1) Beregn $S_{10}$

Formelen for summen av en geometrisk rekke er

S_n = \frac{a_1(k^n - 1)}{k - 1}

Vi setter inn $a_1 = 1$ , $k = \dfrac{3}{2}$ og $n = 10$ :

S_{10} = \frac{1 \cdot \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{10} - 1\right)}{\dfrac{3}{2} - 1} = \frac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^{10} - 1}{\dfrac{1}{2}}= 2\left(\frac{3}{2}\right)^{10} - 2

GeoGebra CAS bekrefter:

GeoGebra CAS: S_n, S_10 og ulikhet

\mathbf{S_{10} = \frac{58025}{512} \approx \underline{\underline{113{,}33}}}

2) Uttrykk for $S_n$

På samme måte gir formelen generelt:

S_n = \frac{1 \cdot \left(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n} - 1\right)}{\dfrac{3}{2} - 1} = 2\left(\frac{3}{2}\right)^{n} - 2

\mathbf{S_n = 2\left(\frac{3}{2}\right)^{n} - 2}

Vi ønsker å finne minste $n$ slik at $S_n > 1\,000\,000$ .

Vi setter opp ulikheten:

2\left(\frac{3}{2}\right)^{n} - 2 > 1\,000\,000

2\left(\frac{3}{2}\right)^{n} > 1\,000\,002

\left(\frac{3}{2}\right)^{n} > 500\,001

Vi tar logaritmen på begge sider:

n \cdot \ln\!\left(\frac{3}{2}\right) > \ln(500\,001)

n > \frac{\ln(500\,001)}{\ln\!\left(\dfrac{3}{2}\right)} \approx 32{,}4

Siden $n$ må være et heltall, er minste $n$ lik $33$ .

Vi kontrollerer:

$S_{32} = 2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{32} - 2 \approx 862\,878 < 1\,000\,000$
$S_{33} = 2 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^{33} - 2 \approx 1\,294\,318 > 1\,000\,000$

Vi må ta med minst $\underline{\underline{33 \text{ ledd}}}$ for at $S_n$ skal overstige $1\,000\,000$ .

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter