Når vi kobler midtpunktene på sidene i en likesidet trekant, deler vi trekanten i fire kongruente, likebeinte trekanter som er geometrisk like den opprinnelige. Hver av dem har areal ${\displaystyle \frac{T}{4}}$. Trekanten $△DEF$ er én av disse fire, så

Samme argument gjelder for hver nye trekant: $△GHI$ er ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ av $△DEF$, altså

Generelt er

Rekken av arealer blir dermed

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1={\displaystyle \frac{T}{4}}$ og kvotient $k={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

Siden $|k|={\displaystyle \frac{1}{4}}<1$ konvergerer rekken, og vi kan bruke sumformelen for en uendelig geometrisk rekke:

GeoGebra CAS bekrefter:

Summen av rekken av arealer er $\underline{\underline{S={\displaystyle \frac{T}{3}}}}$.

Siden $△ABC$ er likesidet med omkrests $O_0=3$, har den sidelengde $1$. Sidelengdene i midtpunktstrekanten er halvparten av sidelengdene i den ytre trekanten (midtpunktsetningen), så

Generelt er $O_n={\displaystyle \frac{3}{2^n}}$, og rekken blir

Dette er en uendelig geometrisk rekke med første ledd $a_1={\displaystyle \frac{3}{2}}$ og kvotient $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Siden $|k|={\displaystyle \frac{1}{2}}<1$ konvergerer rekken:

Summen av rekken av omkretser er $\underline{\underline{S=3}}$.