Parabelmodell for ett gardin

Vi plasserer $x$-aksen langs rullens lengderetning og $y$-aksen langs rullens bredderetning ($0$–$140\mathrm{cm}$). Rullen rommer to rader gardiner: en nedre rad ($y\in [\mathrm{0,70}]$) og en øvre rad ($y\in [\mathrm{70,140}]$).

Et gardin er $150\mathrm{cm}$ bredt (rett øvre kant) og $70\mathrm{cm}$ høyt (parabelformet nedre kant). Parabelens toppunkt (det laveste punktet på hemmen) er plassert ved $y=0$, og de to hjørnene av den rette kanten er ved $y=70$.

Vi setter toppunktet for gardin 1 ved $x=75$ (midtpunktet av bredden $[0,150]$) og skriver parabelligningen

Kontroll: $g_1(75)=0$ og $g_1(0)=g_1(150)=\frac{14}{1125}\cdot {75}^2=70✓$

Finne offset $D$ mellom nabogardiner

Det neste gardinet ($g_2$) er speilvendt (toppunkt opp, $y=70$) og forskyves en avstand $D$ i $x$-retningen:

For at de to gardinene ikke skal overlappe hverandre, kreves det at $g_1(x)\ge g_2(x)$ i hele det overlappende intervallet $[D,150]$. Likhetsbetingelsen (tangering) gir systemet

Fra derivasjonslikheten:

Setter vi dette inn i $g_1=g_2$:

GeoGebra CAS bekrefter: tangenten til systemet $\{g_1(x)=g_2(x),g_1^{\prime }(x)=g_2^{\prime }(x)\}$ gir $D=75\sqrt{2}$.

Figuren viser de åtte gardinene (fire i nedre rad, fire i øvre rad) plottet som parabelkurver. Blå kurver ($g_1$, $g_3$, …) har toppunkt nede; grønne kurver ($g_2$, $g_4$, …) har toppunkt oppe. Nabokurver er tangente (berøres i ett punkt), som bekrefter at $D=75\sqrt{2}$ er minste lovlige avstand.

Total rullelengde for åtte gardiner

Med 4 gardiner per rad er gardinsentrene på $x=75,75+D,75+2D,75+3D$. Det siste gardinet slutter ved

Toppen og bunnen av rullen er symmetriske og bruker samme lengde, så

Bedriften må bruke minst $\mathrm{𝟐𝟐𝟓}\sqrt{\mathrm{𝟐}}+\mathrm{𝟏𝟓𝟎}\approx \mathrm{𝟒𝟔𝟖}\mathrm{cm}$ med tøy.