Vi deriverer $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+1$:

Stasjonærpunkter der $f^{\prime }(x)=0$:

Vi setter opp fortegnslinje for $f^{\prime }(x)=x(x-2)$:

$f^{\prime }$ skifter fortegn fra $+$ til $-$ i $x=0$: toppunkt. $f^{\prime }$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $x=2$: bunnpunkt.

Funksjonsverdier:

Toppunkt i $\underline{\underline{(0,1)}}$ og bunnpunkt i $\underline{\underline{(2,-{\displaystyle \frac{1}{3}})}}$.

Vi deriverer $f^{\prime }(x)=x^2-2x$ én gang til:

Vendepunkt der $f^{\prime \prime }(x)=0$:

Vi sjekker at $f^{\prime \prime }$ skifter fortegn i $x=1$: for $x<1$ er $f^{\prime \prime }(x)<0$ (konkav), for $x>1$ er $f^{\prime \prime }(x)>0$ (konveks). Det er et vendepunkt.

Funksjonsverdien:

Vendepunkt i $\underline{\underline{(1,{\displaystyle \frac{1}{3}})}}$.

Vi bruker nøkkelpunktene:

• Toppunkt: $(0,1)$
• Vendepunkt: $(1,\frac{1}{3})$ — midt mellom topp og bunn
• Bunnpunkt: $(2,-\frac{1}{3})$
• For $x\to -\infty$: $f(x)\to -\infty$
• For $x\to +\infty$: $f(x)\to +\infty$

Grafen stiger mot toppunktet, har ett bøyepunkt (vendepunkt), faller til bunnpunktet og stiger deretter.