Funksjonsdrøfting og halveringsmetode

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 4 x^{2} \cdot \ln x

Bestem koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ .

En elev jobber med funksjonen $f$ og har skrevet programmet nedenfor:

from math import log              # log(x) er kode for ln(x)

a = 0.1
b = 3

maks_avvik = 0.0001

def f(x):                         # definerer funksjonen
    return 4*x**2*log(x)

m = (a + b)/2

while abs(f(m)) >= maks_avvik:    # abs() finner absoluttverdi

	if f(a)*f(m) < 0:
		b = m
    else:
        a = m

    m = (a + b)/2

print(m)

Hva ønsker eleven å finne ut?
Forklar hva programmet gjør i linje 11–20.
Bestem verdien som blir skrevet ut når eleven kjører programmet.

Fasit

Bunnpunkt $(\frac{1}{\sqrt{e}}, - \frac{2}{e})$ , ingen toppunkt

$m \approx 1,000$

Løsningsforslag

$f (x) = 4 x^{2} \ln x$ er definert for $x > 0$ .

f^{'} (x) = 8 x \ln x + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x} = 8 x \ln x + 4 x = 4 x (2 \ln x + 1)

For $x > 0$ er $4 x > 0$ , så $f^{'} (x) = 0$ når $2 \ln x + 1 = 0$ , det vil si $\ln x = - \frac{1}{2}$ , altså $x = e^{- 1 / 2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$ .

Fortegnskifte: $f^{'} < 0$ for $x < e^{- 1 / 2}$ og $f^{'} > 0$ for $x > e^{- 1 / 2}$ , så dette er et bunnpunkt.

f (e^{- 1 / 2}) = 4 \cdot e^{- 1} \cdot \ln (e^{- 1 / 2}) = \frac{4}{e} \cdot (- \frac{1}{2}) = - \frac{2}{e}

Bunnpunkt: $(\frac{1}{\sqrt{e}}, - \frac{2}{e})$

Grafen til $f$ har ingen toppunkt.

Eleven ønsker å finne nullpunktet til $f$ i intervallet $[0,1, 3]$ , ved hjelp av halveringsmetoden.

$f (0,1) = 4 \cdot 0,01 \cdot \ln (0,1) \approx - 0,092 < 0$ og $f (3) = 36 \ln 3 \approx 39,6 > 0$ , så det finnes ett nullpunkt i intervallet. (Vi ser at $f (x) = 4 x^{2} \ln x = 0$ for $x = 1$ .)

Hva programmet gjør i linje 11–20:

Linje 11 setter $m$ til midtpunktet i intervallet $[a, b]$ .
Linje 13: loopen fortsetter så lenge $| f (m) | \geq 0,0001$ .
Linje 15–16: dersom $f (a)$ og $f (m)$ har motsatt fortegn, er nullpunktet i $[a, m]$ → vi oppdaterer $b = m$ .
Linje 17–18: ellers er nullpunktet i $[m, b]$ → vi oppdaterer $a = m$ .
Linje 20: ny midtpunkt beregnes.

Programmet halverer intervallet i hver iterasjon til $| f (m) |$ er tilstrekkelig liten.

Programmet skriver ut $m \approx 1,000$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å derivere riktig og 1 poeng for å finne koordinatene.

1 poeng for å forklare og beskrive koden og 1 poeng for å finne verdien.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2025, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Derivasjon, Funksjonsdrøfting, Programmering
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Funksjonsdrøfting og halveringsmetode

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Funksjonsdrøfting og halveringsmetode

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Funksjonsdrøfting og halveringsmetode

Funksjonsdrøfting og halveringsmetode

Lov på eksamen

Temaer