Funksjonsdrøfting med polynom

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x \qquad , \qquad D_f = \mathbb{R}

Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

Toppunkt $(-3, 27)$ , bunnpunkt $(1, -5)$

Vendepunkt $(-1, 11)$

Se skisse i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$ :

f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x+3)(x-1)

Stasjonære punkter der $f'(x) = 0$ : $x = -3$ eller $x = 1$ .

Vi bruker andrederiverte for å klassifisere:

f''(x) = 6x + 6

$x = -3$ :

f''(-3) = 6 \cdot (-3) + 6 = -12 < 0 \implies \text{toppunkt}

f(-3) = (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 - 9 \cdot (-3) = -27 + 27 + 27 = 27

Toppunkt $(-3,\ 27)$ .

$x = 1$ :

f''(1) = 6 \cdot 1 + 6 = 12 > 0 \implies \text{bunnpunkt}

f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 = 1 + 3 - 9 = -5

Bunnpunkt $(1,\ {-5})$ .

Vendepunkt der $f''(x) = 0$ :

6x + 6 = 0 \implies x = -1

Vi sjekker at $f''$ skifter fortegn: $f''(-2) = -6 < 0$ og $f''(0) = 6 > 0$ — fortegnsskifte bekreftet.

f(-1) = (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 - 9 \cdot (-1) = -1 + 3 + 9 = 11

Vendepunkt $(-1,\ 11)$ .

Grafen er et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient (stigende for store $|x|$ ). Nøkkelpunktene gir følgende forløp:

En skisse kan tegnes ved å markere $(-3,\ 27)$ , $(-1,\ 11)$ og $(1,\ {-5})$ i et koordinatsystem og trekke en jevn S-kurve gjennom disse punktene.

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter