Funksjonsdrøfting med polynom

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x, D_{f} = ℝ

Bestem eventuelle topp- eller bunnpunkt på grafen til $f$ .

Bestem eventuelle vendepunkt på grafen til $f$ .

Lag en skisse av grafen til $f$ .

Fasit

Toppunkt $(- 3, 27)$ , bunnpunkt $(1, - 5)$

Vendepunkt $(- 1, 11)$

Se skisse i løsningsforslaget.

LøsningsforslagKI-generert

Vi deriverer $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x$ :

f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9 = 3 (x^{2} + 2 x - 3) = 3 (x + 3) (x - 1)

Stasjonære punkter der $f^{'} (x) = 0$ : $x = - 3$ eller $x = 1$ .

Vi bruker andrederiverte for å klassifisere:

f^{''} (x) = 6 x + 6

$x = - 3$ :

f^{''} (- 3) = 6 \cdot (- 3) + 6 = - 12 < 0 ⟹ toppunkt

f (- 3) = {(- 3)}^{3} + 3 \cdot {(- 3)}^{2} - 9 \cdot (- 3) = - 27 + 27 + 27 = 27

Toppunkt $(- 3, 27)$ .

$x = 1$ :

f^{''} (1) = 6 \cdot 1 + 6 = 12 > 0 ⟹ bunnpunkt

f (1) = 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 9 \cdot 1 = 1 + 3 - 9 = - 5

Bunnpunkt $(1, - 5)$ .

Vendepunkt der $f^{''} (x) = 0$ :

6 x + 6 = 0 ⟹ x = - 1

Vi sjekker at $f^{''}$ skifter fortegn: $f^{''} (- 2) = - 6 < 0$ og $f^{''} (0) = 6 > 0$ — fortegnsskifte bekreftet.

f (- 1) = {(- 1)}^{3} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} - 9 \cdot (- 1) = - 1 + 3 + 9 = 11

Vendepunkt $(- 1, 11)$ .

Grafen er et tredjegradspolynom med positiv ledende koeffisient (stigende for store $| x |$ ). Nøkkelpunktene gir følgende forløp:

En skisse kan tegnes ved å markere $(- 3, 27)$ , $(- 1, 11)$ og $(1, - 5)$ i et koordinatsystem og trekke en jevn S-kurve gjennom disse punktene.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2015, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Funksjonsdrøfting, Derivasjon

Innstillinger