Vi faktoriserer $f(x)$:

Nullpunkter fås når $x^3=0$ eller $4-x=0$, altså $x=0$ eller $x=4$. Siden definisjonsmengden er det åpne intervallet $⟨-2,4⟩$, er $x=4$ ikke med i definisjonsmengden. Det eneste nullpunktet er dermed

Vi deriverer:

$f^{\prime }(x)=0$ når $x=0$ eller $x=3$.

Vi setter opp fortegnslinje for $f^{\prime }$. Siden $-4x^2\le 0$ for alle $x$, avgjøres fortegnet til $f^{\prime }(x)$ av faktoren $-(x-3)$:

• For $x<3$ (bortsett fra $x=0$): $f^{\prime }(x)>0$
• For $x>3$: $f^{\prime }(x)<0$

Ved $x=0$ skifter altså ikke $f^{\prime }$ fortegn (positiv på begge sider), så $x=0$ gir verken topp- eller bunnpunkt — det er et terrassepunkt.

Ved $x=3$ skifter $f^{\prime }$ fortegn fra $+$ til $-$, så dette er et toppunkt:

Grafen har toppunkt $\underline{\underline{(3,27)}}$ og intet bunnpunkt.

Vi deriverer videre:

$f^{\prime \prime }(x)=0$ når $x=0$ eller $x=2$.

Fortegnet til $f^{\prime \prime }$:

• For $x<0$: $f^{\prime \prime }(x)<0$ (konkav / vender ned)
• For $0<x<2$: $f^{\prime \prime }(x)>0$ (konveks / vender opp)
• For $x>2$: $f^{\prime \prime }(x)<0$ (konkav / vender ned)

$f^{\prime \prime }$ skifter fortegn ved både $x=0$ og $x=2$, så begge gir vendepunkter:

Vendepunktene er $\underline{\underline{(0,0)}}$ og $\underline{\underline{(2,16)}}$. Merk at $(\mathrm{0,0})$ er et vendepunkt med vannrett tangent (terrassepunktet fra b)).

Vi setter sammen informasjonen: grafen er stigende på hele $⟨-2,3⟩$ (med et terrassepunkt ved $(\mathrm{0,0})$), har toppunkt $(3,27)$, og er deretter avtagende mot $x=4$. I endepunktene (som ikke er med i definisjonsmengden) nærmer grafen seg $f(-2)=-48$ og $f(4)=0$.

Figuren viser nullpunktet/vendepunktet $(\mathrm{0,0})$ i rødt, vendepunktet $(\mathrm{2,16})$ i grønt og toppunktet $(\mathrm{3,27})$ i blått.