Frispark modellert med vektorfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fotballspiller tar frispark – ballbane vist i koordinatsystem

En fotballspiller tok et frispark. Han sparket ballen i retning av motstandernes mål. Ballens posisjon $t$ sekunder etter at frisparket ble tatt, er gitt ved vektorfunksjonen

\vec{r} (t) = [28 t - 3 t^{2}, 10 t - 5 t^{2}]

Enheten langs aksene er meter.

Kalkulator

Bestem banefarten som ballen fikk da den ble sparket.

For hånd

Hvor lang tid tok det fra ballen ble sparket, til den traff bakken?

For hånd

Bestem ballens banefart da den var i sitt høyeste punkt.

Fasit

$v (0) = 2 \sqrt{221} \approx 29,7 m / s$

$t = 2 s$

$v (1) = 22 m / s$

LøsningsforslagKI-generert

Vi har $\vec{r} (t) = [28 t - 3 t^{2}, 10 t - 5 t^{2}]$ , som deriveres komponentvis til fartsvektoren

\vec{r}^{'} (t) = [28 - 6 t, 10 - 10 t]

Dette er satt opp og regnet i GeoGebra CAS, se utklippet under (linje 3–4 gir de deriverte, resten av linjene gir svarene på a, b og c).

CAS-utregning av banefart, tid til bakken og banefart i toppunktet

Banefarten da ballen ble sparket er farten ved $t = 0$ . Fra dpx(0) og dpy(0) (linje 5) får vi hastighetsvektoren

\vec{r}^{'} (0) = [28, 10]

Farten (lengden av vektoren) er da, se fart0 (linje 6),

| \vec{r}^{'} (0) | = \sqrt{28^{2} + 10^{2}} = \sqrt{884} = 2 \sqrt{221} \approx 29,7 m / s

Banefarten ballen fikk da den ble sparket, var $2 \sqrt{221} \approx 29,7 m / s$ .

Ballen er i bakken når $y$ -komponenten av $\vec{r} (t)$ er null, altså når $10 t - 5 t^{2} = 0$ . Dette er løst med TidBakke (linje 7):

10 t - 5 t^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 0 \lor t = 2

Løsningen $t = 0$ er starttidspunktet, så ballen treffer bakken ved $t = 2$ .

Det tok $t = 2 s$ fra ballen ble sparket, til den traff bakken.

Ballen er i sitt høyeste punkt når den $y$ -komponenten av fartsvektoren er null, altså når $y^{'} (t) = 10 - 10 t = 0$ . Dette er løst med TidTopp (linje 8), som gir $t = 1$ .

I punkt vTopp (linje 9) er hastighetsvektoren ved $t = 1$ regnet ut:

\vec{r}^{'} (1) = [28 - 6 \cdot 1, 10 - 10 \cdot 1] = [22, 0]

som stemmer med at ballen kun beveger seg vannrett i toppunktet. Farten (linje 10, fartTopp) blir da

| \vec{r}^{'} (1) | = \sqrt{22^{2} + 0^{2}} = 22

Banefarten til ballen i det høyeste punktet var $22 m / s$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2019, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Derivasjon

Frispark modellert med vektorfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Frispark modellert med vektorfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Frispark modellert med vektorfunksjon

Frispark modellert med vektorfunksjon

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer