Forenkling med CAS

Definisjonsmengden til $f$ er begrenset av nevnerne i uttrykket: $x^2-25\ne 0$, $x+5\ne 0$ og $x-5\ne 0$, altså $x\ne -5$ og $x\ne 5$.

Vi taster inn uttrykket i CAS og lar GeoGebra forenkle det:

CAS gir

For hånd (kontroll): fellesnevner er $(x-5)(x+5)$:

Denne forkortingen er lovlig for $x\ne 5$, siden vi da deler teller og nevner på faktoren $(x-5)\ne 0$.

Grafen med asymptoter

Etter forenkling ser vi at grafen til $f$ er grafen til ${\displaystyle \frac{x}{x+5}}$, men med et hull i $x=5$ (siden $f$ ikke er definert der) og en vannrett asymptote $y=1$ (siden ${\displaystyle \frac{x}{x+5}}\to 1$ når $x\to \pm \infty$) i tillegg til den loddrette asymptoten $x=-5$ (fra nullpunktet i nevneren).

Det røde punktet i $x=5$ markerer hullet i grafen — punktet der ligger på kurven ${\displaystyle \frac{x}{x+5}}$ (verdien ${\displaystyle \frac{5}{10}}=\mathrm{0,5}$), men $f$ er ikke definert der.

Deriverbarhet og kontinuitet

Definisjonsmengden til $f$ er $ℝ\setminus \{-5,5\}$. Overalt i definisjonsmengden er $f$ en rasjonal funksjon med kontinuerlig og deriverbar teller og nevner, og nevneren er forskjellig fra null — dermed er $f$ kontinuerlig og deriverbar for alle $x\ne -5$ og $x\ne 5$.

I $x=-5$ og $x=5$ er $f$ ikke definert, og da er den per definisjon verken kontinuerlig eller deriverbar der:

• I $x=-5$ har grafen en loddrett asymptote — funksjonsverdien går mot $\pm \infty$.
• I $x=5$ har grafen et opphevbart bruddpunkt (hull) — grensverdien ${\lim }_{x\to 5}f(x)=\frac{1}{2}$ finnes, men $f(5)$ er ikke definert, så $f$ er ikke kontinuerlig i $x=5$.