Fond og geometrisk rekke

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et fond på 50 millioner kroner ble opprettet 1. januar 2015. Hensikten er å dele ut et fast beløp til gode formål den 31.12. hvert år.

Styret for fondet gikk først ut fra at den årlige avkastningen ville bli 10,0 %.

Hvor mye penger kan maksimalt deles ut hvert år dersom fondet aldri skal gå tomt?

Når vil fondet være tomt for penger dersom det deles ut 8 millioner kroner hvert år?

Fasit

5 000 000 kr per år

Fondet er tomt i løpet av 2025 (etter 10 hele utbetalinger)

LøsningsforslagKI-generert

Fondet må aldri gå tomt, så kapitalen etter utdeling må være minst like stor som kapitalen før utdeling. Det betyr at utdelingen maksimalt kan tilsvare avkastningen.

x_{\max} = 10\,\% \cdot 50\,000\,000 = 0{,}10 \cdot 50\,000\,000 = 5\,000\,000 \text{ kr}

Alternativt via uendelig geometrisk rekke:

Nåverdien av alle fremtidige utbetalinger $x$ kan skrives som en uendelig geometrisk rekke. Første utbetaling skjer 31.12.2015, altså om 1 år:

S = \frac{x}{1{,}1} + \frac{x}{1{,}1^2} + \frac{x}{1{,}1^3} + \cdots = \frac{\frac{x}{1{,}1}}{1 - \frac{1}{1{,}1}} = \frac{x}{0{,}1}

For at fondet aldri skal gå tomt, må nåverdien av alle utbetalinger være lik fondets verdi:

\frac{x}{0{,}1} = 50\,000\,000 \implies x = 5\,000\,000 \text{ kr}

Maksimalt beløp per år er 5 millioner kroner.

La $n$ være antall år etter opprettelsen (første utbetaling etter år 1). Fondets verdi etter $n$ utbetalinger er:

F_n = 50 \cdot 1{,}1^n - 8 \cdot (1 + 1{,}1 + 1{,}1^2 + \cdots + 1{,}1^{n-1})

Summen av den geometriske rekken er $\dfrac{1{,}1^n - 1}{1{,}1 - 1} = \dfrac{1{,}1^n - 1}{0{,}1} = 10 \cdot (1{,}1^n - 1)$ , så:

F_n = 50 \cdot 1{,}1^n - 8 \cdot 10 \cdot (1{,}1^n - 1) = 50 \cdot 1{,}1^n - 80 \cdot (1{,}1^n - 1)

F_n = 50 \cdot 1{,}1^n - 80 \cdot 1{,}1^n + 80 = 80 - 30 \cdot 1{,}1^n

Vi setter $F_n = 0$ :

80 - 30 \cdot 1{,}1^n = 0 \implies 1{,}1^n = \frac{80}{30} = \frac{8}{3}

n = \frac{\ln\!\left(\frac{8}{3}\right)}{\ln(1{,}1)} \approx \frac{0{,}9808}{0{,}09531} \approx 10{,}29

Siden $n \approx 10{,}29$ er fondet tomt mellom år 10 og år 11. Fondet kan dele ut 8 millioner kroner i 10 hele år (utbetalingene skjer 31.12.2015 t.o.m. 31.12.2024). Det 11. året er kapitalen for liten til full utdeling, og fondet er tomt i løpet av 2025.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Rente, Rekker

Fond og geometrisk rekke

Sync på tvers av enheter

Fond og geometrisk rekke

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave