Fjerdegradspolynom med faktorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et polynom $Q$ er gitt ved

Q (x) = x^{4} + a x^{3} + b x^{2} + c x - 12

Du får oppgitt at $(x + 1)$ , $(x - 1)$ og $(x - 2)$ er faktorer i $Q (x)$ .

Vis at dette gir likningssystemet

a - b + c = - 11

a + b + c = 11

8 a + 4 b + 2 c = - 4

Bestem $a$ , $b$ og $c$ .

Fasit

Se løsningsforslag

$a = - 8$ , $b = 11$ , $c = 8$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $(x + 1)$ , $(x - 1)$ og $(x - 2)$ er faktorer i $Q (x)$ , vet vi at $Q (- 1) = 0$ , $Q (1) = 0$ og $Q (2) = 0$ .

$Q (- 1) = 0$ :

{(- 1)}^{4} + a {(- 1)}^{3} + b {(- 1)}^{2} + c (- 1) - 12 = 0

1 - a + b - c - 12 = 0

a - b + c = - 11

$Q (1) = 0$ :

1 + a + b + c - 12 = 0

a + b + c = 11

$Q (2) = 0$ :

16 + 8 a + 4 b + 2 c - 12 = 0

8 a + 4 b + 2 c = - 4

Fra likning 1 og 2:

(a + b + c) - (a - b + c) = 11 - (- 11)

2 b = 22 ⟹ b = 11

Setter $b = 11$ inn i likning 1: $a + c = - 11 + 11 = 0$ , altså $c = - a$ .

Setter $b = 11$ og $c = - a$ inn i likning 3:

8 a + 44 - 2 a = - 4 ⟹ 6 a = - 48 ⟹ a = - 8

Da er $c = - (- 8) = 8$ .

a = - 8, b = 11, c = 8

Oppgavedata

Hentet fra: S2 V2019, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Polynomdivisjon, Likningssystem
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon

Innstillinger