Grafen til $f(x)=x^4-4x^2$ for $x\in ⟨-\mathrm{2,5},\mathrm{2,5}⟩$ er tegnet i GeoGebra, se figuren under (oppgave d og e er lagt inn i samme figur).

Skjæringspunkter med $x$-aksen finner vi ved å løse $f(x)=0$:

Dette gir $x=0$ (dobbel rot), $x=2$ og $x=-2$. Grafen skjærer altså $x$-aksen i punktene $(-\mathrm{2,0})$, $(\mathrm{0,0})$ og $(\mathrm{2,0})$.

Skjæringspunkt med $y$-aksen finner vi ved å sette $x=0$:

Grafen skjærer $y$-aksen i $(\mathrm{0,0})$ — samme punkt som den dobbelte roten.

Svar: $\underline{\underline{(-\mathrm{2,0}),(\mathrm{0,0}),(\mathrm{2,0})}}$

Vi deriverer $f$:

Vi finner nullpunktene til $f^{\prime }(x)$:

Vi setter opp fortegnslinje for $f^{\prime }(x)=4x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$ ved å teste verdier i hvert intervall:

Grafen til $f$ stiger på $⟨-\sqrt{2},0⟩$ og $⟨\sqrt{2},\infty ⟩$, og synker på $⟨-\infty ,-\sqrt{2}⟩$ og $⟨0,\sqrt{2}⟩$.

Ved $x=-\sqrt{2}$ og $x=\sqrt{2}$ går $f$ fra synkende til stigende, så dette er bunnpunkter. Ved $x=0$ går $f$ fra stigende til synkende, så dette er et toppunkt.

Vi regner ut funksjonsverdiene:

Svar: Bunnpunkter $\underline{\underline{(-\sqrt{2},-4)}}$ og $\underline{\underline{(\sqrt{2},-4)}}$, toppunkt $\underline{\underline{(\mathrm{0,0})}}$.

Grafen til $g(x)=a{x}^2$ skal gå gjennom bunnpunktene $(-\sqrt{2},-4)$ og $(\sqrt{2},-4)$ til $f$. Vi setter inn punktet $(\sqrt{2},-4)$ i uttrykket for $g$:

(Punktet $(-\sqrt{2},-4)$ gir samme likning siden ${(-\sqrt{2})}^2={(\sqrt{2})}^2=2$.)

Svar: $\underline{\underline{a=-2}}$

Grafen til $g(x)=-2x^2$ er tegnet sammen med grafen til $f$ i figuren under. Parabelen går som forventet gjennom de to bunnpunktene $(-\sqrt{2},-4)$ og $(\sqrt{2},-4)$.