Firkant med like sider og vektormetode

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (- 1, 1)$ og $C (7, 5)$ er hjørner i firkanten $A B C D$ . Alle sidene i firkanten er like lange. Punktet $D$ ligger på linja $l$ gitt ved $y = 2 x + 1$ .

Forklar at $\vec{A D}$ kan skrives på formen $\vec{A D} = [t + 1, 2 t]$ , for en $t \in ℝ$ .

Bestem koordinatene til $B$ og $D$ ved regning.

Fasit

Vist i løsningsforslaget.

$B (4, 1), D (2, 5)$

LøsningsforslagKI-generert

Punktet $D$ ligger på linja $l : y = 2 x + 1$ . Vi kan derfor skrive $D$ på parameterform ved å la $x$ -koordinaten være $t$ :

D = (t, 2 t + 1), t \in ℝ

Vektoren $\vec{A D}$ er da

\vec{A D} = D - A = (t - (- 1), (2 t + 1) - 1) = (t + 1, 2 t)

som er det vi skulle vise. Dette stemmer også med at retningsvektoren til $l$ er $[1,2]$ , siden $\vec{A D}$ må ha en $y$ -komponent som er dobbelt så stor som endringen i $x$ -komponenten når $D$ beveger seg langs $l$ .

Siden alle sidene i firkanten $A B C D$ er like lange, er $A B C D$ en rombe. I en rombe halverer diagonalene hverandre, og diagonalene står vinkelrett på hverandre.

Diagonalene er $A C$ og $B D$ . Midtpunktet $M$ på $A C$ er

M = (\frac{- 1 + 7}{2}, \frac{1 + 5}{2}) = (3, 3)

Siden diagonalene halverer hverandre, er $M$ også midtpunktet på $B D$ . Vi bruker $D = (t, 2 t + 1)$ fra a) og finner $B$ uttrykt ved $t$ :

B = 2 M - D = (6 - t, 6 - (2 t + 1)) = (6 - t, 5 - 2 t)

Siden diagonalene i tillegg står vinkelrett på hverandre, må $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 0$ .

\vec{A C} = C - A = (8, 4)

\vec{B D} = D - B = (t - (6 - t), (2 t + 1) - (5 - 2 t)) = (2 t - 6, 4 t - 4)

Vi setter opp skalarproduktet lik null:

8 (2 t - 6) + 4 (4 t - 4) = 0

16 t - 48 + 16 t - 16 = 0

32 t = 64 \Rightarrow t = 2

Dette gir

D = (2, 2 \cdot 2 + 1) = (2, 5)

B = (6 - 2, 5 - 2 \cdot 2) = (4, 1)

Kontroll: Alle sidene i firkanten er $5$ lange:

| A B | = | (5,0) | = 5, | B C | = | (3,4) | = 5, | C D | = | (- 5,0) | = 5, | D A | = | (- 3, - 4) | = 5

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2020, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri, Likningssystem

Firkant med like sider og vektormetode

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Firkant med like sider og vektormetode

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Firkant med like sider og vektormetode

Firkant med like sider og vektormetode

Lov på eksamen

Temaer