En normalfordelingskurve har toppen (maksimumet) ved $x = \mu$ og bredden bestemmes av $\sigma$: større $\sigma$ gir en lavere og bredere kurve, mens mindre $\sigma$ gir en høyere og smalere kurve.

Vi leser av grafene:

• Graf (1): Toppen er ved $x = 10$ og kurven er smal og høy $\Rightarrow$ $\mu = 10$, liten $\sigma$. Dette er $X_4$ med $\text{E}(X_4) = 10$ og $\text{SD}(X_4) = 1$.
• Graf (2): Toppen er ved $x = 10$ og kurven er bred og lav $\Rightarrow$ $\mu = 10$, stor $\sigma$. Dette er $X_3$ med $\text{E}(X_3) = 10$ og $\text{SD}(X_3) = 3$.
• Graf (3): Toppen er ved $x = 5$ og kurven er bred og lav $\Rightarrow$ $\mu = 5$, stor $\sigma$. Dette er $X_2$ med $\text{E}(X_2) = 5$ og $\text{SD}(X_2) = 3$.
• Graf (4): Toppen er ved $x = 5$ og kurven er smal og høy $\Rightarrow$ $\mu = 5$, liten $\sigma$. Dette er $X_1$ med $\text{E}(X_1) = 5$ og $\text{SD}(X_1) = 1$.

Graf (1) = $\underline{\underline{X_4}}$, graf (2) = $\underline{\underline{X_3}}$, graf (3) = $\underline{\underline{X_2}}$, graf (4) = $\underline{\underline{X_1}}$.

Vi skal finne hvilken variabel som har $P(7 < X < 14) = 0{,}75$.

Intervallet $(7, 14)$ strekker seg fra 7 til 14. Vi undersøker hvilken forventningsverdi som passer.

Eliminering av $X_1$ og $X_2$ ($\mu = 5$):

For $X_1$ ($\mu = 5$, $\sigma = 1$): Verdien 7 er $2\sigma$ over gjennomsnittet. Det er svært lite sannsynlighet i halen over 7, så $P(7 < X_1 < 14)$ er tilnærmet 0. Dette er langt fra 0,75.

For $X_2$ ($\mu = 5$, $\sigma = 3$): Verdien 7 er $\frac{2}{3}\sigma$ over gjennomsnittet. Hele venstre halvdel av fordelingen (som utgjør 50 %) ligger under $\mu = 5$, og en betydelig del ligger mellom 5 og 7. Dermed er $P(7 < X_2 < 14)$ klart under 0,5. Ikke aktuelt.

Eliminering av $X_4$ ($\mu = 10$, $\sigma = 1$):

For $X_4$: Verdien 7 er $3\sigma$ under gjennomsnittet og 14 er $4\sigma$ over gjennomsnittet. Nesten all sannsynlighet ligger innenfor $3\sigma$ fra gjennomsnittet, så $P(7 < X_4 < 14) \approx 1$. Dette er mye høyere enn 0,75.

$X_3$ er riktig ($\mu = 10$, $\sigma = 3$):

For $X_3$: Intervallet $(7, 14)$ har venstre grense $7 = 10 - 3 = \mu - \sigma$ og høyre grense $14 = \mu + \frac{4}{3}\sigma$.

• $P(X_3 < 7) = P\!\left(Z < \frac{7-10}{3}\right) = P(Z < -1)$. Av 68 %-regelen er $P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0{,}68$, så $P(X < \mu - \sigma) \approx \frac{1-0{,}68}{2} = 0{,}16$.
• Den resterende sannsynligheten til høyre for 14 er liten, ettersom 14 er godt over gjennomsnittet og kurven faller raskt.
• Samlet gir dette $P(7 < X_3 < 14) = 1 - P(X_3 \leq 7) - P(X_3 \geq 14) \approx 1 - 0{,}16 - 0{,}09 = 0{,}75$.

Det er $\underline{\underline{X_3}}$ som har $P(7 < X < 14) = 0{,}75$.