Finne toppunkt med while-løkke og derivasjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En elev har skrevet programkoden nedenfor.

def f(x):
    return x/(1+x**2)

h = 0.0001
x = 0
while (f(x+h)-f(x))/h > 0:
    x = x + 0.01
print("x=", x)

Hva ønsker eleven å finne ut?

Forklar hva som skjer når programmet kjøres. Hva blir resultatet?

Fasit

Eleven ønsker å finne $x$ -verdien til toppunktet på grafen til $f$ .

Programmet skriver ut x= 1.0 (tilnærmet). Toppunktet er $(1, \frac{1}{2})$ .

LøsningsforslagKI-generert

Eleven beregner den numeriske tilnærmingen til den deriverte

f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

og sjekker om den er positiv. Så lenge $f'(x) > 0$ øker funksjonen, og while-løkken fortsetter. Løkken stopper første gang $f'(x) \leq 0$ , det vil si når funksjonen slutter å vokse.

Eleven ønsker altså å finne $x$ -koordinaten til toppunktet på grafen til $f$ .

Vi følger programmet steg for steg:

Definisjon og startverdier:

def f(x):
    return x/(1+x**2)

h = 0.0001
x = 0

Funksjonen $f(x) = \dfrac{x}{1+x^2}$ defineres.
Skrittstørrelsen $h = 0{,}0001$ brukes til numerisk derivasjon.
Startpunktet settes til $x = 0$ .

While-løkken:

while (f(x+h)-f(x))/h > 0:
    x = x + 0.01

Betingelsen sjekker om $f'(x) \approx \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} > 0$ .
Ved $x = 0$ er $f'(0) > 0$ (funksjonen stiger), så løkken starter.
For hvert steg økes $x$ med $0{,}01$ .
Løkken fortsetter så lenge funksjonen stiger, og stopper første gang den slutter å stige.

Utskrift:

print("x=", x)

Programmet skriver ut $x$ -verdien der funksjonen slutter å stige, altså $x$ -koordinaten til toppunktet.

Resultatet:

Programmet skriver ut:

x= 1.0

Kontroll analytisk: Vi finner toppunktet ved å løse $f'(x) = 0$ :

f'(x) = \frac{(1+x^2) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}

f'(x) = 0 \implies 1 - x^2 = 0 \implies x = \pm 1

Siden $x$ starter på $0$ og øker, finner programmet $x = 1$ . Toppunktets $y$ -verdi er

f(1) = \frac{1}{1+1^2} = \frac{1}{2}

Toppunktet er $(1,\ \tfrac{1}{2})$ .

Oppgavedata

Delt med: S1, R1
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Programmering, Derivasjon, Funksjoner

Finne toppunkt med while-løkke og derivasjon

Sync på tvers av enheter

Finne toppunkt med while-løkke og derivasjon

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave