Totalt svart areal i figur 4:

Det totale arealet av de svarte kvadratene i figur 4 er $\underline{\underline{256}}$.

I figur $n$ er det $n^2$ svarte kvadrater, og hvert har areal $n^2$. Det totale svarte arealet er:

Det totale arealet av de svarte kvadratene i figur $n$ er $\underline{\underline{n^4}}$.

Antall hvite kvadrater i den nederste raden er det samme som sidelengden av det store kvadratet (nederste rad er helhvit). Vi teller sidelengden for de tre figurene:

• Figur 1: nederste rad har $3$ hvite kvadrater.
• Figur 2: nederste rad har $12$ hvite kvadrater.
• Figur 3: nederste rad har $27$ hvite kvadrater.

Vi ser at verdiene $3,12,27$ er $3\cdot 1^2,3\cdot 2^2,3\cdot 3^2$. Mønsteret er altså $S(n)=3n^2$.

Vi kan bekrefte med et generelt andregradsuttrykk $S(n)=a{n}^2+bn+c$:

Trekker første fra andre: $3a+b=9$. Trekker andre fra tredje: $5a+b=15$. Trekker disse fra hverandre: $2a=6$, altså $a=3$. Da er $b=9-3\cdot 3=0$, og $c=3-3-0=0$.

Dermed er:

$\underline{\underline{S(n)=3n^2}}$

Hvert hvitt kvadrat har areal $1$, så det totale hvite arealet er antall hvite enhetsceller, altså totalt areal minus svart areal. Det totale arealet er sidelengden i annen, $S{(n)}^2$, og det svarte arealet er $n^4$ (fra oppgave b):

Vi kan kontrollere mot kjente verdier:

• $n=1$: $3^2-1=8$ (totalt $9$, svart $1$, hvit $8$ ✓)
• $n=2$: ${12}^2-16=128$ (totalt $144$, svart $16$, hvit $128$ ✓)
• $n=3$: ${27}^2-81=648$ (totalt $729$, svart $81$, hvit $648$ ✓)

Det totale arealet av de hvite kvadratene i figur $n$ er $\underline{\underline{8n^4}}$.