Figurtall med kvadratiske klosser og uttrykk for Fn

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figurtall F1, F2 og F3 laget av kvadratiske klosser

Snorre lager figurer av kvadratiske klosser etter et fast mønster. Ovenfor ser du figur $F_{1}$ , $F_{2}$ og $F_{3}$ .

Kalkulator

Hvor mange klosser trenger Snorre for å lage $F_{4}$ og for å lage $F_{5}$ ?

Kalkulator

Bestem et uttrykk for antall klosser i figur $F_{n}$ uttrykt ved $n$ .

Snorre har 1000 klosser. Han vil lage en figur som er så stor som mulig.

Kalkulator

Bruk formelen fra oppgave b) til å bestemme hvor mange klosser han får til overs når han har laget figuren.

Fasit

$F_{4} = 38$ klosser, $F_{5} = 62$ klosser

$F_{n} = 3 n^{2} - 3 n + 2$

Snorre lager $F_{18}$ og har $80 klosser til overs$

LøsningsforslagKI-generert

Vi forlenger mønsteret ved å se på oppbygningen av figurene.

Hver figur $F_{n}$ består av to deler:

En bunn-rektangel med $n$ rader og $n + 1$ kolonner: $n \cdot (n + 1)$ klosser.
To “ører” øverst i hjørnene, hvert med $(n - 1)$ rader og $(n - 1)$ kolonner: $2 \cdot {(n - 1)}^{2}$ klosser.

Vi kan sjekke:

Figur	Bunn	Ører	Totalt
$F_{1}$	$1 \cdot 2 = 2$	$2 \cdot 0^{2} = 0$	$2$
$F_{2}$	$2 \cdot 3 = 6$	$2 \cdot 1^{2} = 2$	$8$
$F_{3}$	$3 \cdot 4 = 12$	$2 \cdot 2^{2} = 8$	$20$
$F_{4}$	$4 \cdot 5 = 20$	$2 \cdot 3^{2} = 18$	$38$
$F_{5}$	$5 \cdot 6 = 30$	$2 \cdot 4^{2} = 32$	$62$

$F_{4}$ trenger $38$ klosser og $F_{5}$ trenger $62$ klosser.

Ut fra mønsteret i oppgave a) er antall klosser i $F_{n}$ :

F_{n} = n (n + 1) + 2 {(n - 1)}^{2}

Vi forenkler:

F_{n} = n^{2} + n + 2 (n^{2} - 2 n + 1)

F_{n} = n^{2} + n + 2 n^{2} - 4 n + 2

F_{n} = 3 n^{2} - 3 n + 2

Vi kan kontrollere: $F_{1} = 3 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 2 = 2$ ✓, $F_{2} = 12 - 6 + 2 = 8$ ✓, $F_{3} = 27 - 9 + 2 = 20$ ✓.

Vi finner den største $n$ slik at $F_{n} \leq 1000$ :

3 n^{2} - 3 n + 2 \leq 1000

3 n^{2} - 3 n - 998 \leq 0

Vi løser likningen $3 n^{2} - 3 n - 998 = 0$ med $a b c$ -formelen:

n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot 3 \cdot 998}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \pm \sqrt{11985}}{6}

n = \frac{3 + \sqrt{11985}}{6} \approx \frac{3 + 109,5}{6} \approx 18,7

Siden $n$ må være et helt tall, er den største lovlige verdien $n = 18$ .

Vi sjekker:

F_{18} = 3 \cdot 18^{2} - 3 \cdot 18 + 2 = 3 \cdot 324 - 54 + 2 = 972 - 54 + 2 = 920

F_{19} = 3 \cdot 19^{2} - 3 \cdot 19 + 2 = 3 \cdot 361 - 57 + 2 = 1083 - 57 + 2 = 1028 > 1000

Antall klosser til overs:

1000 - 920 = 80

Snorre lager figur $F_{18}$ og har $80 klosser$ til overs.

Oppgavedata

Hentet fra: 2P H2016, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Delt med: 2P, 2P-Y
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Figurtall, Mønstre, Tallfølger

Figurtall med kvadratiske klosser og uttrykk for Fn

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Figurtall med kvadratiske klosser og uttrykk for Fn

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Figurtall med kvadratiske klosser og uttrykk for Fn

Figurtall med kvadratiske klosser og uttrykk for Fn

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer