Ellipse og Ramanujans formel

Nedenfor ser du en ellipse med sentrum i $S$ . Linjestykket $S A = a$ kalles den store halvaksen, og linjestykket $S B = b$ kalles den lille halvaksen.

Ellipse med stor halvakse a og liten halvakse b

Mari har tegnet en ellipse der $a = 3$ cm og $b = 2$ cm, ved hjelp av et digitalt verktøy. Hun har funnet at ellipsen har en omkrets på $15,865 c m$ .

Kalkulator

Bruk Ramanujans formel, og bestem $O$ når $a = 3$ og $b = 2$ . Sammenlikn med svaret Mari har funnet.

For hånd

Undersøk om Ramanujans formel gjelder i det spesialtilfellet at ellipsen er en sirkel.

Fasit

Mari har regnet riktig.

Ja, den gjelder.

Løsningsforslag

Vi beregner først $h$ med $a = 3$ og $b = 2$ :

h = {(\frac{a - b}{a + b})}^{2} = {(\frac{3 - 2}{3 + 2})}^{2} = {(\frac{1}{5})}^{2} = \frac{1^{2}}{5^{2}} = \frac{1}{25}

Så regner vi ut omkretsen $O$ ved hjelp av formelen (jeg bruker CAS i GeoGebra som kalkulator).

Beregning av omkrets med Ramanujans formel

Omkretsen er omtrent 15,9 cm. Det er samme svaret som Mari har funnet.

En sirkel har omkretsen $O_{sirkel} = π \cdot d$ , der $d$ er diameteren, eller $O_{sirkel} = 2 π r$ dersom vi bruker radius istedenfor diameter.

I en sirkel vil begge halvaksene være like lange, og begge vil være lik radius i sirkelen, formelen for $h$ blir derfor:

h = {(\frac{a - b}{a + b})}^{2} = {(\frac{r - r}{r + r})}^{2} = {(\frac{0}{2 r})}^{2} = 0

Vi setter inn $a = b = r$ og $h = 0$ Ramanujans formel:

O \approx π (r + r) (1 + \underset{Telleren blir 0}{\underset{⏟}{\frac{3 \cdot 0}{10 + \sqrt{4 - 3 \cdot 0}}}}) = π (r + r) \cdot 1 = π \cdot 2 r = 2 π r

Ramanujans formel gjelder for spesialtilfellet der ellipsen er en sirkel.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En kandidat som setter inn i formelen og gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

En kandidat som gjør noen riktige beregninger, kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1P H2023, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Formler, Geometri
Kompetansemål: Tolke og bruke formlar som gjeld samfunnsliv og arbeidsliv

Ellipse og Ramanujans formel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Ellipse og Ramanujans formel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Ellipse og Ramanujans formel

Ellipse og Ramanujans formel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer