Elgbestand med regresjon og eksponentiell nedgang
Lov på eksamen
- Kalkulator
- CAS
- Graftegner og regneark
- Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kan den løses uten PC?
2 av 5 deloppgaver kan løses uten PC.
Fra 2027 er det bare kalkulator og skriftlige hjelpemidler på del 2. Vurderingen er gjort med KI og kan inneholde feil.
Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.
Tabellen nedenfor viser antall elg i et område per 1. januar for noen utvalgte år.
| År | 2007 | 2009 | 2011 | 2013 | 2015 | 2017 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Antall dyr | 400 | 650 | 1100 | 1850 | 2400 | 3000 |
I hele denne oppgaven lar vi være antall år etter 1. januar 2007.
Bruk regresjon til å lage et tredjegradspolynom som kan brukes som modell for antall elg i dette området.
I fortsettelsen lar vi funksjonen gitt ved
være en modell for antall elg i området. Modellen gjelder fra 1. januar 2007 og 14 år framover. Etter 14 år regner vi med at elgbestanden vil få en årlig nedgang på 4 % fram til 2030.
Forklar at elgbestanden etter 2021 er gitt ved
Bruk graftegner til å tegne en graf som viser elgbestanden mellom 2007 og 2030.
I hvilket år er elgbestanden størst ifølge modellene og ?
I hvilke år mellom 2007 og 2030 vil elgbestanden være på over 3000 dyr ifølge modellene og ?
Fasit
Se graf
(, dyr)
LøsningsforslagKI-generert
Vi legger inn punktene (der er antall år etter 2007) i graftegneren og utfører tredjegradsregresjon. Det gir modellen
Modellen gjelder de første 14 årene, altså fra 2007 til og med 2021. Ved (1. januar 2021) gir modellen
Fra og med 2021 antar vi en årlig nedgang på . En nedgang på per år tilsvarer en vekstfaktor på
Siden bestanden er ved , og deretter avtar med vekstfaktor for hvert år som går, blir antall år etter startpunktet . Da får vi den eksponentielle modellen
som gjelder for mellom og (dvs. årene 2021–2030).
Vi tegner på intervallet og på intervallet i graftegneren (2030 tilsvarer ).
![Graf som viser elgbestanden f på [0,14] og h på [14,23], med grenselinjen y=3000 og skjæringspunktene](/assets/_resources/s1-h18-2-4.avif)
Vi finner toppunktet til i graftegneren, se MaxPunkt i utklippet. Toppunktet er , altså er voksende hele veien fram til og avtagende etterpå. Siden er en avtagende eksponentialfunksjon for alle , vil bestanden ifølge modellene være størst omtrent midt i år 2020, det vil si , med om lag dyr.
Vi finner skjæringspunktene mellom grafene og linjen , se SkjF og SkjH i utklippet.
For : for , som tilsvarer slutten av 2016.
For : for , som tilsvarer midten av 2023.
Siden er voksende opp til toppunktet og er avtagende etter , er bestanden over dyr for alle mellom disse to skjæringspunktene. Det betyr at elgbestanden ifølge modellene er over dyr fra omtrent slutten av 2016 til omtrent midten av 2023, altså i (og deler av 2016 og 2023).