Eksponentiell enhetskostnad og grensekostnad

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Du skal svare på enten alternativ I eller alternativ II. De to alternativene er likeverdige ved vurderingen.

Alternativ II

I deler av denne oppgaven kan det være en fordel å bruke digitalt verktøy.

Kostnaden i kroner ved å produsere $x$ enheter av en vare per dag er gitt ved funksjonen

K (x) = 2000 \cdot e^{\frac{x}{400}}, x \leq 500

Enhetskostnaden $E (x)$ er gjennomsnittskostnaden per enhet, det vil si $E (x) = \frac{K (x)}{x}$ .

Kalkulator

Tegn grafen til $K$ . Forklar at enhetskostnaden når det produseres 150 enheter, er lik stigningstallet til linjen som går gjennom origo og punktet $(150, K (150))$ .

Krever PC

Tegn en rett linje gjennom origo og et vilkårlig punkt $P$ på grafen til $K$ . Bestem, ved å flytte punktet $P$ langs grafen, den produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad.

Kalkulator

Finn grensekostnaden. Hva blir grensekostnaden når produksjonen er 300 enheter? Forklar hva dette svaret forteller oss.

Kalkulator

Finn grafisk når enhetskostnaden er lik grensekostnaden.

Inntekten ved salg av $x$ enheter av varen per dag er gitt ved funksjonen

I (x) = 50 x - 0,05 x^{2}

Det selges like mange enheter som det produseres.

Kalkulator

Bestem overskuddet når enhetskostnaden er lik grensekostnaden. Kommenter svaret ditt.

Fasit

$E (150) = \frac{K (150)}{150}$ er stigningstallet til linjen gjennom origo og $(150, K (150))$

$x = 400$ enheter gir lavest enhetskostnad

$K^{'} (x) = 5 e^{x / 400}$ , $K^{'} (300) \approx 10,59 k r / e n h e t$

$x = 400$ enheter

$U (400) \approx 6563 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Beregningene under er gjort i GeoGebra CAS, se skjermbildet.

Beregninger i GeoGebra CAS

Enhetskostnaden $E (x) = \frac{K (x)}{x}$ er kostnaden delt på antall enheter, altså gjennomsnittskostnaden per enhet.

Stigningstallet til den rette linja gjennom origo $(0,0)$ og punktet $(150, K (150))$ på grafen til $K$ er

a = \frac{K (150) - 0}{150 - 0} = \frac{K (150)}{150}

Dette er nøyaktig samme uttrykk som $E (150)$ . Derfor er enhetskostnaden ved $x = 150$ lik stigningstallet til linja gjennom origo og $(150, K (150))$ . Fra CAS (linje 3) er $K (150) \approx 2909,98$ , slik at $E (150) \approx 19,40 kr$ per enhet.

Generelt gjelder dette for alle $x$ : enhetskostnaden $E (x)$ er stigningstallet til linja gjennom origo og $(x, K (x))$ , fordi $E (x) = \frac{K (x) - 0}{x - 0}$ er nettopp definisjonen av stigningstall.

Enhetskostnaden $E (x)$ er stigningstallet til den rette linja fra origo til punktet $P = (x, K (x))$ på grafen til $K$ (jf. a). Når $P$ flyttes langs grafen fra $x$ nær $0$ og oppover, dreier linja seg. Linja har lavest stigningstall nettopp når den er tangent til grafen til $K$ — for mindre eller større $x$ vil linja skjære grafen og ha brattere stigning.

Ved å flytte punktet $P$ i GeoGebra og lese av når linja fra origo tangerer grafen til $K$ , finner vi at dette skjer ved $x = 400$ (se MinE i CAS-utklippet, linje 7, som viser minimum av $E (x)$ på $⟨ 50, 500 ⟩$ ).

Den produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad er dermed

x = 400 enheter

med enhetskostnad $E (400) \approx 13,59 kr$ .

Grensekostnaden er den deriverte av kostnadsfunksjonen:

K^{'} (x) = \frac{d}{d x} (2000 \cdot e^{x / 400}) = 2000 \cdot \frac{1}{400} \cdot e^{x / 400} = 5 e^{x / 400}

(se Kd(x) i CAS-utklippet, linje 5). Grensekostnaden ved $x = 300$ er

K^{'} (300) = 5 e^{300 / 400} \approx 10,59 kr

(linje 6 i CAS-utklippet). Dette betyr at når produksjonen er $300$ enheter per dag, vil kostnaden ved å produsere én ekstra enhet (den $301.$ ) øke med omtrent $10,59 kr$ .

Enhetskostnaden er lik grensekostnaden når $E (x) = K^{'} (x)$ . Fra CAS-utklippet ser vi at både E(400) og Kd(400) gir samme verdi, $13,59$ (linje 8–9), altså at

E (400) = K^{'} (400) \approx 13,59

Grafisk skjer dette i skjæringspunktet mellom grafene til $E$ og $K^{'}$ . Dette stemmer også med svaret i b): enhetskostnaden er lavest nettopp der linja fra origo til $(x, K (x))$ tangerer grafen til $K$ , og i det punktet er stigningstallet til linja ( $E (x)$ ) lik stigningstallet til tangenten til grafen ( $K^{'} (x)$ ).

Enhetskostnaden er altså lik grensekostnaden ved

x = 400 enheter

Overskuddet er inntekt minus kostnad, $U (x) = I (x) - K (x)$ . Vi skal finne overskuddet der enhetskostnaden er lik grensekostnaden, altså ved $x = 400$ (fra d).

Fra CAS-utklippet (linje 12) er

U (400) = I (400) - K (400) \approx 12000 - 5436,56 \approx 6563,44 kr

Kommentar: Dette er ikke det maksimale overskuddet. Overskuddet er størst når grenseinntekten er lik grensekostnaden, altså når $I^{'} (x) = K^{'} (x)$ , ikke når enhetskostnaden $E (x)$ er lik grensekostnaden. Ved $x = 400$ er $I^{'} (400) = 50 - 0,1 \cdot 400 = 10 kr$ , mens $K^{'} (400) \approx 13,59 kr$ . Siden grenseinntekten her er lavere enn grensekostnaden, er overskuddet allerede på vei ned ved $x = 400$ — det maksimale overskuddet oppnås ved en noe lavere produksjon enn $400$ enheter.

Oppgavedata

Hentet fra: S2 H2009, del 2, oppgave 4-II
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Kostnadsfunksjon, Grenseinntekt og grensekostnad, Eksponentialfunksjon, Optimering

Eksponentiell enhetskostnad og grensekostnad

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Eksponentiell enhetskostnad og grensekostnad

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Eksponentiell enhetskostnad og grensekostnad

Eksponentiell enhetskostnad og grensekostnad

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer