I $\mathrm{\Delta }ABC$ er det en rett vinkel i $A$, og begge katetene har lengde $1$. Da er trekanten likebeint og rettvinklet, slik at de to spisse vinklene begge er ${45}^{\circ }$:

Hypotenusen $BC$ finner vi med Pytagoras’ setning:

Bruker vi definisjonen av sinus og cosinus i den rettvinklede trekanten, med vinkel $B={45}^{\circ }$, er $AC$ motstående katet og $AB$ hosliggende katet til $BC$ som hypotenus:

Vi har dermed vist at $\underline{\underline{\sin {45}^{\circ }=\cos {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$.

I $\mathrm{\Delta }PQR$ kjenner vi to sider og vinkelen mellom dem: $PR=8$, $PQ=6\sqrt{2}$ og $\angle P={45}^{\circ }$. Da bruker vi arealsetningen:

Vi setter inn tallene og bruker resultatet fra a), $\sin {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$:

Vi regner ut $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, og forenkler:

Arealet av trekanten er $\underline{\underline{A=24}}$.

For å finne siden $QR$, som ligger motstående vinkel $P$, bruker vi cosinussetningen:

Vi setter inn $PQ=6\sqrt{2}$, $PR=8$, $\angle P={45}^{\circ }$ og $\cos {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$:

Vi regner ut hvert ledd for seg:

Da blir

Lengden av siden $QR$ er $\underline{\underline{QR=2\sqrt{10}}}$.