Vi tegner grafen til $f(x)=2x^3-9x^2+12x$ for $x\in ⟨-{\displaystyle \frac{1}{2}},3⟩$ i GeoGebra.

Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[1,2]$ er stigningstallet til sekanten gjennom punktene $A=(1,f(1))$ og $B=(2,f(2))$ på grafen.

Den gjennomsnittlige vekstfarten er $-1$. Dette er stigningstallet til den røde sekanten Sekant gjennom $A$ og $B$ på figuren i a).

Svar: $\underline{\underline{-1}}$

Den momentane vekstfarten er verdien av den deriverte i punktet.

Dette er stigningstallet til den grønne tangenten Tangent1 som er tegnet i punktet $C=({\displaystyle \frac{1}{2}},4)$ på figuren i a).

Svar: $\underline{\underline{\mathrm{4,5}}}$

Vi faktoriserer den deriverte:

Fortegnet til $f^{\prime }(x)$ bestemmes av faktorene $(x-1)$ og $(x-2)$:

Grafen til $f$ stiger for $x<1$ og for $x>2$, og synker for $1<x<2$. Dette stemmer med formen på grafen i a).

Vi løser $f^{\prime }(x)=0$:

Fra fortegnslinjen i d) skifter $f^{\prime }(x)$ fortegn fra $+$ til $-$ i $x=1$, så dette er et toppunkt. I $x=2$ skifter $f^{\prime }(x)$ fortegn fra $-$ til $+$, så dette er et bunnpunkt.

Vi har allerede funnet funksjonsverdiene i b):

Svar: Toppunkt $\underline{\underline{(1,5)}}$, bunnpunkt $\underline{\underline{(2,4)}}$.

Vi løser likningen $f(x)=0$:

Vi faktoriserer ut $x$:

Dette gir enten $x=0$, eller

Vi sjekker diskriminanten til andregradslikningen:

Siden $d<0$, har andregradslikningen ingen reelle løsninger. Dermed er $x=0$ den eneste løsningen av $f(x)=0$.

Svar: $\underline{\underline{x=0\text{ er den eneste løsningen}}}$