Vi bruker produktregelen på $f(x)=x^2\cdot e^{1-x^2}$, med $u(x)=x^2$ og $v(x)=e^{1-x^2}$.

Da er $u^{\prime }(x)=2x$. For $v(x)$ bruker vi kjerneregelen: den indre funksjonen er $1-x^2$ med derivert $-2x$, så

Produktregelen $f^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ gir

Vi trekker ut fellesfaktoren $2x{e}^{1-x^2}$:

som var det vi skulle vise.

Vi løser $f^{\prime }(x)=0$:

Siden $e^{1-x^2}>0$ for alle $x$, må enten $2x=0$ eller $1-x^2=0$. Dette gir

Vi undersøker fortegnet til $f^{\prime }(x)=2x(1-x)(1+x)e^{1-x^2}$ (eksponentialfaktoren er alltid positiv, så fortegnet avgjøres av $2x(1-x)(1+x)$):

Fortegnsskiftene gir:

• $x=-1$: skifte $+\to -$, altså toppunkt. $f(-1)={(-1)}^2{e}^{1-1}=1\cdot e^0=1$
• $x=0$: skifte $-\to +$, altså bunnpunkt. $f(0)=0$
• $x=1$: skifte $+\to -$, altså toppunkt. $f(1)=1^2{e}^{1-1}=1$

Grafen har toppunkter $\underline{\underline{(-1,1)}}$ og $\underline{\underline{(1,1)}}$, og bunnpunkt $\underline{\underline{(0,0)}}$.

Funksjonen er symmetrisk om $y$-aksen, siden $f(-x)={(-x)}^2{e}^{1-{(-x)}^2}=x^2{e}^{1-x^2}=f(x)$. Fra b) vet vi at grafen har toppunkter i $(-\mathrm{1,1})$ og $(\mathrm{1,1})$ og bunnpunkt i $(\mathrm{0,0})$. I tillegg vet vi at $f(x)\to 0$ når $x\to \pm \infty$, og at $f(x)\ge 0$ for alle $x$ (siden $x^2\ge 0$ og $e^{1-x^2}>0$).

Grafen kommer altså opp fra $y=0$ langt til venstre, stiger til toppunktet $(-\mathrm{1,1})$, synker til bunnpunktet $(\mathrm{0,0})$, stiger igjen til toppunktet $(\mathrm{1,1})$, og synker deretter mot $y=0$ langt til høyre.

Mellom et toppunkt (der grafen krummer nedover, konkav) og bunnpunktet (der grafen krummer oppover, konveks) må krumningen skifte et sted imellom — det gir ett vendepunkt mellom $x=-1$ og $x=0$, og ett mellom $x=0$ og $x=1$.

I tillegg flater grafen ut mot $y=0$ langt til venstre og høyre (konveks, krummer oppover mot den vannrette asymptoten), mens den krummer nedover nær toppunktene. Krumningen må derfor også skifte et sted til venstre for $x=-1$ og et sted til høyre for $x=1$.

Totalt gir dette $\underline{\underline{4}}$ vendepunkter, plassert symmetrisk om $y$-aksen: to mellom bunnpunktet og hvert toppunkt, og to lengre ute mot halene.

Figuren viser toppunktene $(-\mathrm{1,1})$ og $(\mathrm{1,1})$ i blått, bunnpunktet $(\mathrm{0,0})$ i rødt og de fire vendepunktene i grønt (omtrent $x\approx \pm \mathrm{0,47}$ og $x\approx \pm \mathrm{1,51}$).