Diskret sannsynlighetsfordeling med ukjente parametere

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel $X$ er gitt ved følgende tabell:

$t$	$-2$	$-1$	$0$	$2$	$k$
$P(X = t)$	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}4$	$0{,}2$	$p$

Forklar hvorfor $p$ må være lik $0{,}1$ .

Hva må $k$ være dersom vi vet at $\text{E}(X) = 0{,}3$ ?

Vi setter $k = 1$ . Bestem $\text{E}(X)$ og $\text{Var}(X)$ .

Fasit

$\underline{\underline{p = 0{,}1}}$ fordi summen av alle sannsynligheter må være 1

$\underline{\underline{k = 4}}$

$\underline{\underline{\text{E}(X) = 0}}$ , $\underline{\underline{\text{Var}(X) = 1{,}8}}$

LøsningsforslagKI-generert

Summen av alle sannsynligheter i en sannsynlighetsfordeling må alltid være lik 1:

0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}2 + p = 1

0{,}9 + p = 1

\underline{\underline{p = 0{,}1}}

Forventningsverdien er definert ved:

\text{E}(X) = \sum_t t \cdot P(X = t)

Vi setter inn alle verdiene fra tabellen (med $p = 0{,}1$ ):

\text{E}(X) = (-2) \cdot 0{,}2 + (-1) \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 0{,}2 + k \cdot 0{,}1

= -0{,}4 - 0{,}1 + 0 + 0{,}4 + 0{,}1k

= -0{,}1 + 0{,}1k

Vi vet at $\text{E}(X) = 0{,}3$ , så:

-0{,}1 + 0{,}1k = 0{,}3

0{,}1k = 0{,}4

\underline{\underline{k = 4}}

Med $k = 1$ ser tabellen slik ut:

$t$	$-2$	$-1$	$0$	$2$	$1$
$P(X = t)$	$0{,}2$	$0{,}1$	$0{,}4$	$0{,}2$	$0{,}1$

Forventningsverdi:

\text{E}(X) = (-2) \cdot 0{,}2 + (-1) \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}1

= -0{,}4 - 0{,}1 + 0 + 0{,}4 + 0{,}1

\underline{\underline{\text{E}(X) = 0}}

Varians:

Vi bruker formelen $\text{Var}(X) = \text{E}(X^2) - [\text{E}(X)]^2$ .

Først regner vi ut $\text{E}(X^2)$ :

\text{E}(X^2) = (-2)^2 \cdot 0{,}2 + (-1)^2 \cdot 0{,}1 + 0^2 \cdot 0{,}4 + 2^2 \cdot 0{,}2 + 1^2 \cdot 0{,}1

= 4 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}1 + 0 + 4 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}1

= 0{,}8 + 0{,}1 + 0{,}8 + 0{,}1 = 1{,}8

Dermed:

\text{Var}(X) = 1{,}8 - 0^2 = \underline{\underline{1{,}8}}

Oppgavedata

Sync på tvers av enheter