Deriverbar stykkvis funksjon med parametere a og b

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = {\begin{matrix} 2 x^{2} + 3 x + a, & x < 1 \\ - 2 x^{2} + b \cdot x, & x \geq 1 \end{matrix}

For hånd

Bestem $a$ og $b$ slik at $f$ blir deriverbar i $x = 1$ .

For hånd

Avgjør om grafen til $f$ har vendepunkt.

Fasit

$a = 4$ , $b = 11$

Grafen har ikke vendepunkt.

LøsningsforslagKI-generert

For at $f$ skal være deriverbar i $x = 1$ , kreves to ting:

Krav 1 – Kontinuitet (venstresiden og høyresiden må møtes):

2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + a = - 2 \cdot 1^{2} + b \cdot 1

5 + a = - 2 + b

Krav 2 – Lik derivert (samme tangentretning fra begge sider):

f^{'} (x) = {\begin{matrix} 4 x + 3, & x < 1 \\ - 4 x + b, & x \geq 1 \end{matrix}

4 \cdot 1 + 3 = - 4 \cdot 1 + b

7 = - 4 + b ⟹ b = 11

Setter $b = 11$ inn i kontinuitetskravet:

5 + a = - 2 + 11 = 9 ⟹ a = 4

a = 4, b = 11

Med $a = 4$ og $b = 11$ er funksjonen:

f (x) = {\begin{matrix} 2 x^{2} + 3 x + 4, & x < 1 \\ - 2 x^{2} + 11 x, & x \geq 1 \end{matrix}

Vi finner andredeiverte for hvert uttrykk:

f^{''} (x) = {\begin{matrix} 4, & x < 1 \\ - 4, & x \geq 1 \end{matrix}

Begge uttrykk er andregradsfunksjoner med konstante andrederiverte ( $f^{''} = 4$ og $f^{''} = - 4$ ). Et vendepunkt krever at $f^{''}$ skifter fortegn i et punkt der $f$ er to ganger deriverbar.

For $x < 1$ : $f^{''} (x) = 4 > 0$ — konstant, ingen fortegnsendring.
For $x > 1$ : $f^{''} (x) = - 4 < 0$ — konstant, ingen fortegnsendring.
I $x = 1$ : $f^{''}$ er ikke definert (andrederiverte fra venstre og høyre er ulike), og $f$ er ikke to ganger deriverbar her. Et eventuelt vendepunkt krever at $f$ er to ganger deriverbar — dette kravet er ikke oppfylt.

Grafen til $f$ har ikke vendepunkt.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 E2021, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Derivasjon, Funksjoner

Deriverbar stykkvis funksjon med parametere a og b

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Deriverbar stykkvis funksjon med parametere a og b

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Deriverbar stykkvis funksjon med parametere a og b

Deriverbar stykkvis funksjon med parametere a og b

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer