Derivasjon, rekker og likningssett blandet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Deriver funksjonene

f (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 3

g (x) = 2 x e^{3 x}

Finn summen av den uendelige rekka: $9 + 0,9 + 0,09 + 0,009 + \dots$

Finn summen av de 119 første naturlige tallene.

Ledd nummer $n$ i en rekke er gitt ved $a_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

Bestem $a_{5}$ og $S_{5}$ .

Vis at $S_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ . Bestem $S_{999}$ .

Vis at $x = 1$ er en løsning på likningen $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ . Bruk polynomdivisjon til å finne de to andre løsningene.

Løs likningssettet

\begin{matrix} x + y + z & = 1 \\ 3 x - y + 2 z & = 7 \\ 4 x + 3 y - z & = 10 \end{matrix}

En maskin som lager terninger, var feilinnstilt. Terningene fikk to treere og ingen seksere.

$x$	1	2	3	4	5	6
$P (X = x)$	$\frac{1}{6}$

Skriv av tabellen og fyll ut sannsynlighetsfordelingen.

Regn ut $E (X)$ og $Var (X)$ .

Totalkostnaden i kroner for en vare er gitt ved $K (x) = x^{2} - 2 x + 4$ der $x$ er antall produserte enheter.

Finn et uttrykk for enhetskostnaden og grensekostnaden.

Finn den minste enhetskostnaden.

En regel i økonomien sier at vi finner den laveste verdien for enhetskostnaden der grafen til enhetskostnaden og grafen til grensekostnaden skjærer hverandre.

Vis at denne regelen alltid gjelder.

Fasit

$f^{'} (x) = 12 x^{2} - 10 x + 3$ , $g^{'} (x) = 2 e^{3 x} (1 + 3 x)$

$s = 10$ , $S_{119} = 7140$

$a_{5} = \frac{1}{30}$ , $S_{5} = \frac{5}{6}$ , $S_{999} = \frac{999}{1000}$

$x = 1, x = 3, x = - 2$

$x = \frac{53}{19}, y = - \frac{14}{19}, z = - \frac{20}{19}$

$E (X) = 3$ , $Var (X) = \frac{5}{3}$

$k (x) = x - 2 + \frac{4}{x}$ , $K^{'} (x) = 2 x - 2$ , minste enhetskostnad $k (2) = 2 kr$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker regelen for derivasjon av potensfunksjoner ledd for ledd:

f (x) = 4 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x + 3 \Rightarrow f^{'} (x) = 12 x^{2} - 10 x + 3

Her bruker vi produktregelen ${(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ med $u = 2 x$ og $v = e^{3 x}$ :

g^{'} (x) = 2 \cdot e^{3 x} + 2 x \cdot 3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} (1 + 3 x)

Rekka $9 + 0,9 + 0,09 + \dots$ er en uendelig geometrisk rekke med $a_{1} = 9$ og $k = 0,1$ . Siden $| k | < 1$ finnes summen:

s = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{9}{1 - 0,1} = \frac{9}{0,9} = 10

De naturlige tallene $1, 2, \dots, 119$ danner en aritmetisk rekke med $a_{1} = 1$ , $a_{119} = 119$ . Summen blir

S_{119} = \frac{a_{1} + a_{119}}{2} \cdot 119 = \frac{1 + 119}{2} \cdot 119 = 60 \cdot 119 = 7140

Leddet er gitt ved $a_{n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ .

Vi setter inn $n = 5$ :

a_{5} = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} = \frac{1}{30}

Summen av de fem første leddene:

S_{5} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Leddene i summen kansellerer parvis (teleskoperende rekke): hvert negative brøkledd kansellerer det påfølgende positive leddet, slik at alt gjenstår er det aller første og det aller siste leddet:

S_{n} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1}

For $n = 999$ :

S_{999} = 1 - \frac{1}{1000} = \frac{999}{1000}

Vi setter $x = 1$ inn i likningen:

1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0

Siden dette stemmer, er $x = 1$ en løsning, og $(x - 1)$ er en faktor. Polynomdivisjon gir

(x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6) : (x - 1) = x^{2} - x - 6

Andregradsuttrykket faktoriseres videre:

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

Likningen kan altså skrives $(x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ , som gir løsningene

x = 1, x = 3, x = - 2

Vi løser likningssettet

\begin{matrix} x + y + z & = 1 \\ 3 x - y + 2 z & = 7 \\ 4 x + 3 y - z & = 10 \end{matrix}

Fra den første likningen får vi $y = 1 - x - z$ . Setter vi dette inn i de to andre:

3 x - (1 - x - z) + 2 z = 7 \Rightarrow 4 x + 3 z = 8 (*)

4 x + 3 (1 - x - z) - z = 10 \Rightarrow x - 4 z = 7 (* *)

Fra $(* *)$ : $x = 7 + 4 z$ . Setter vi dette inn i $(*)$ :

4 (7 + 4 z) + 3 z = 8 \Rightarrow 28 + 19 z = 8 \Rightarrow z = - \frac{20}{19}

Da blir

x = 7 + 4 \cdot (- \frac{20}{19}) = 7 - \frac{80}{19} = \frac{53}{19}

y = 1 - x - z = 1 - \frac{53}{19} + \frac{20}{19} = \frac{19 - 53 + 20}{19} = - \frac{14}{19}

Løsningen er

x = \frac{53}{19}, y = - \frac{14}{19}, z = - \frac{20}{19}

En vanlig terning har $P (X = x) = \frac{1}{6}$ for hver av verdiene $1,2,3,4,5,6$ . Terningen i oppgaven har to sekssider som i stedet viser tallet $3$ , og ingen side viser $6$ . Det betyr at $P (X = 3)$ dobles, mens $P (X = 6) = 0$ :

$x$	1	2	3	4	5	6
$P (X = x)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$0$

Forventningsverdien:

E (X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{2}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot 0 = \frac{1 + 2 + 6 + 4 + 5}{6} = \frac{18}{6} = 3

For variansen bruker vi $Var (X) = E (X^{2}) - {(E (X))}^{2}$ :

E (X^{2}) = 1^{2} \cdot \frac{1}{6} + 2^{2} \cdot \frac{1}{6} + 3^{2} \cdot \frac{2}{6} + 4^{2} \cdot \frac{1}{6} + 5^{2} \cdot \frac{1}{6} + 6^{2} \cdot 0 = \frac{1 + 4 + 18 + 16 + 25}{6} = \frac{64}{6} = \frac{32}{3}

Var (X) = \frac{32}{3} - 3^{2} = \frac{32}{3} - \frac{27}{3} = \frac{5}{3}

Enhetskostnaden er totalkostnaden delt på antall enheter:

k (x) = \frac{K (x)}{x} = \frac{x^{2} - 2 x + 4}{x} = x - 2 + \frac{4}{x}

Grensekostnaden er den deriverte av totalkostnaden:

K^{'} (x) = 2 x - 2

Vi deriverer enhetskostnaden og setter lik null for å finne minimum:

k^{'} (x) = 1 - \frac{4}{x^{2}} = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = 2 (x > 0)

Siden $k^{''} (x) = \frac{8}{x^{3}} > 0$ for $x > 0$ , er dette et minimum. Minste enhetskostnad:

k (2) = 2 - 2 + \frac{4}{2} = 2 kr

Enhetskostnaden er $k (x) = \frac{K (x)}{x}$ . Vi deriverer med brøkregelen:

k^{'} (x) = \frac{K^{'} (x) \cdot x - K (x)}{x^{2}}

I minimumspunktet er $k^{'} (x) = 0$ , altså

K^{'} (x) \cdot x - K (x) = 0 \Rightarrow K^{'} (x) = \frac{K (x)}{x} = k (x)

Dette betyr at grensekostnaden $K^{'} (x)$ er lik enhetskostnaden $k (x)$ nettopp i minimumspunktet til $k (x)$ — altså der grafene til $k (x)$ og $K^{'} (x)$ skjærer hverandre. Dette gjelder generelt for enhver kostnadsfunksjon der enhetskostnaden har et minimum, og stemmer med vårt eksempel: $k (2) = 2$ og $K^{'} (2) = 2 \cdot 2 - 2 = 2$ .

Oppgavedata

Hentet fra: S2 E2008, del 1, oppgave 1
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Temaer: Derivasjon, Rekker, Polynomdivisjon, Likningssystem, Forventningsverdi, Kostnadsfunksjon

Derivasjon, rekker og likningssett blandet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Derivasjon, rekker og likningssett blandet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Derivasjon, rekker og likningssett blandet

Derivasjon, rekker og likningssett blandet

Lov på eksamen

Temaer