1. Vi bruker produktregelen ${(uv)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ med $u=x^3$ og $v=\ln x$:

2. Vi deriverer leddene hver for seg. For $3e^{2x}$ bruker vi kjerneregelen med indre funksjon $2x$. For $e^{x^2}$ bruker vi kjerneregelen med indre funksjon $x^2$:

I en aritmetisk rekke er $a_n=a_1+(n-1)d$. Vi setter opp to likninger:

Vi trekker den første fra den andre:

Setter vi $d=3$ inn i $a_1+2d=8$:

Summen av de 50 første leddene:

Vi løser likningen

Siden $x^2-3x=x(x-3)$, må $x\ne 0$ og $x\ne 3$. Vi ganger alle ledd med fellesnevneren $x(x-3)$:

Andregradsformelen (eller faktorisering) gir

Siden $x=3$ ikke er tillatt (gir null i nevner), er den eneste løsningen

1. Vi setter $x=-1$ inn i $f(x)=2x^3-10x^2+6x+18$:

Siden dette stemmer, er $x=-1$ et nullpunkt, og $(x+1)$ er en faktor i $f(x)$. Vi utfører polynomdivisjon av $f(x)$ med $(x+1)$:

Andregradsuttrykket kan forkortes og faktoriseres:

Dermed er

2. Vi skal løse $f(x)\ge 0$, altså $2(x+1){(x-3)}^2\ge 0$. Siden ${(x-3)}^2\ge 0$ for alle $x$, avhenger fortegnet til $f(x)$ av faktoren $(x+1)$ (bortsett fra i $x=3$, hvor $f(x)=0$ uansett). Vi lager fortegnsskjema:

   

   Vi ser at $f(x)\ge 0$ for alle $x\ge -1$:

Vi løser likningssettet

Vi trekker første likning fra andre:

Setter vi $x=2$ inn i første likning: $y-z=-2$, altså $y=z-2$.

Setter vi $x=2$ og $y=z-2$ inn i tredje likning:

Da blir $y=5-2=3$. Løsningen er

Vi har $f(x)=x^3-3x+6$.

1. Den deriverte er

Nullpunktene til $f^{\prime }(x)$ er $x=-1$ og $x=1$. Fortegnsskjema for $f^{\prime }(x)$ viser at $f^{\prime }$ er positiv for $x<-1$, negativ for $-1<x<1$ og positiv for $x>1$. Dermed er $x=-1$ et toppunkt og $x=1$ et bunnpunkt.

Toppunkt: $\underline{\underline{(-1,8)}}$. Bunnpunkt: $\underline{\underline{(1,4)}}$.

2. Et vendepunkt finnes der $f^{\prime \prime }(x)=0$ og fortegnet til $f^{\prime \prime }$ skifter:

Siden $f^{\prime \prime }(x)$ er negativ for $x<0$ og positiv for $x>0$, skifter fortegnet, og $x=0$ er et vendepunkt.

Vendepunkt: $\underline{\underline{(0,6)}}$.